¿Qué son los generadores no canónicos de $\hat{\mathbb{Z}}$ (resp. el grupo de Galois absoluto de un campo finito)?

Question

Definimos $\hat{\mathbb{Z}}$ como el límite inverso $\varprojlim \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ . También se puede demostrar que $\hat{\mathbb{Z}}$ es isomorfo al grupo de Galois absoluto $G_k = \operatorname{Gal}(\bar{k}/k)$ de un campo finito $k \simeq \mathbb{F}_q$ . La literatura menciona que hay dos generadores del grupo de Galois absoluto de cualquier extensión finita de $k$ a saber:

• el automorfismo aritmético de Frobenius $x \mapsto x^q$ ,
• la inversa del automorfismo aritmético de Frobenius, el llamado automorfismo geométrico de Frobenius .

Estos dos elementos tienen orden infinito, por lo que el subgrupo generado por ellos es isomorfo a $\mathbb{Z}$ que puede considerarse un subgrupo de $\hat{\mathbb{Z}}$ . Además, estos dos elementos son los llamados generadores topológicos de $G_k$ Pero aún no sé qué significa esto. De todos modos, supongo que uno de estos hechos mencionados es la razón por la que llamamos a los elementos de Frobenius generadores canónicos .

Preguntas : ¿Qué son exactamente los generadores topológicos/canónicos? ¿Existen generadores no canónicos de $G_k$ resp. $\hat{\mathbb{Z}}$ ? En caso afirmativo, ¿cómo serían?

También sería estupendo que me dieras un ejemplo de ese generador. ¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Has preguntado qué podría ser un generador no canónico. He aquí una respuesta. Recuerde que un generador topológico $\lambda$ de un grupo $G$ es sólo un elemento que genera un subgrupo denso de $G$ . Por lo tanto, si $G$ es conmutativo, escrito aditivamente, estás pidiendo el cierre de $\Bbb Z\lambda$ para ser $G$ .

Si piensa en $\hat{\Bbb Z}$ como el producto directo $\prod_p\Bbb Z_p$ entonces el Frobenius puede ser considerado como el $\infty$ -tupla $(1,1,1,\cdots)$ Todos los componentes son $1$ . Su inversa tiene todos los componentes iguales a $-1$ . Pero cada factor $\Bbb Z_p$ tiene una verdadera profusión de generadores (topológicos), de hecho cualquier unidad (multiplicativa) de $\Bbb Z_p$ es un generador topológico del grupo aditivo $\Bbb Z_p$ .

Entonces, supongo que los generadores topológicos de $\hat{\Bbb Z}$ son los $\infty$ -donde el $p$ -El quinto componente es una unidad de $\Bbb Z_p$ .