La relación de Hopf

Question

Estoy tratando de entender por qué la preimages de dos puntos por debajo de la de Hopf fibration están vinculados.

Pensé que los dos círculos en $\mathbb{C}^n$ están vinculados iff un círculo cruza el casco convexo de la otra.

$$p: S^3\to\mathbb{C}P^1,\quad p(z_1,z_2)=[z_1,z_2].$$

Supongamos que $z_1\neq 0$. A continuación, la imagen sólo se define por la relación $z_2/z_1$. Supongamos que tenemos $v, u\in\mathbb{C}P^1$, $v_2/v_1=a, u_2/u_1=b.$ Entonces

$$p^{-1}(v)=\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2\ |\ z_2=az_1, |z_1|^2+|z_2|^2=1 \},$$

$$p^{-1}(u)=\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2\ |\ z_2=bz_1, |z_1|^2+|z_2|^2=1 \}.$$

Pero parece que el convexa de los cascos de estos círculos se intersectan sólo en un punto (0,0), por lo que no parece estar vinculado.

Lo que está mal con mi razonamiento? Y ¿cómo puedo demostrar que cualquiera de las dos fibras están vinculados?

Answer 1

También puede hacerlo con el grupo fundamental. Porque si $L$ es dos círculos enlazados, entonces $\pi_1(S^3\setminus L)$ es $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$, un Grupo abeliano libre; Si $L$ es dos círculos disociados, $\pi_1(S^3\setminus L)$ es $\mathbb{Z}\ast \mathbb{Z}$, un grupo libre.

Si nos quitan dos puntos de $S^2$, ahora tenemos la fibración $$ S^1 \rightarrow S^3\setminus L\rightarrow S^2\setminus {x,y} $ $ donde este último espacio es homotópicas a un círculo. Así tenemos la secuencia exacta de los grupos fundamentales %#% $ #%

Y que significa que no podemos obtener el grupo libre, así $$ {1}\rightarrow \pi_1(S^1)\rightarrow \pi_1(S^3\setminus L)\rightarrow \pi_1(S^2\setminus{x,y})\rightarrow{1} $ se compone de círculos enlazados.