% de igualdad integral $ \int_{\mathbb{R}^3} \frac{1}{\vert x - z\vert^2} \cdot \frac{1}{\vert x - y\vert^2} dx = \frac{C}{\vert z - y\vert} $

Question

Gustaria saber el valor de la constante (universal) $C$ que esta igualdad es verdadera $$ \int{\mathbb{R}^3} \frac{1}{\vert x - z\vert^2} \cdot \frac{1}{\vert x - y\vert^2} dx = \frac{C}{\vert z - y\vert} $ $ después de traducir, girar y escalar obtenemos $$ \int{\mathbb{R}^3} \frac{1}{\vert x - z\vert^2} \cdot \frac{1}{\vert x - y\vert^2} dx = \frac{1}{\vert z - y\vert} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{1}{\vert x\vert^2 \cdot \vert x -(1,0,0)\vert^2} dx. $ $ cuando tenemos un vistazo a esta integral, vemos que es de hecho integrable (las singularidades alrededor de $0$ y $1$ $1/\vert x \vert^2$ que es localmente integrable y en el infinito la singularidad sea similar a $1/\vert x \vert^4$ que es integrable de origen).

Hay una manera elegante de calcular $$ \int_{\mathbb{R}^3} \frac{1}{\vert x\vert^2 \cdot \vert x -(1,0,0)\vert^2} dx $ $

Answer 1

Podemos usar coordenadas esféricas para obtener $$ C = \int \limits_{\mathbb{R}^3} \frac{\mathrm{d} x}{|x|^2 |x - e_1|^2} = \int \limits_0^\infty \int \limits_0^\pi \int \limits_0^{2 \pi} \frac{\mathrm{d} \phi \, \mathrm{d} \cos(\theta) \, \mathrm{d} r}{1+r^2-2 r \cos(\theta)} \, .$ $ después de realizar las integrales angulares que son izquierda con\begin{align} C &= 2 \pi \int \limits_0^\infty \frac{\ln(1+r) - \ln(|1-r|)}{r} \, \mathrm{d} r \&= 2 \pi \left[\int \limits_0^1 \frac{\ln(1+r) - \ln(1-r)}{r} \, \mathrm{d} r + \int \limits_1^\infty \frac{\ln(1+r) - \ln(r-1)}{r} \, \mathrm{d} r\right] \, . \end {Alinee el} ahora dejamos $r \to \frac{1}{r}$ en la segunda integral para ver que es realmente igual a la primera. Por lo tanto\begin{align} C &= 4 \pi \int \limits_0^1 \frac{\ln(1+r) - \ln(1-r)}{r} \, \mathrm{d} r \ &= 4 \pi \int \limits0^1 \sum \limits{n=1}^\infty \frac{r^{n-1}}{n}\left[(-1)^{n-1}+1\right] \, \mathrm{d} r \ &= 8 \pi \sum \limits_{k=0}^\infty \frac{1}{2k+1} \int \limits0^1 r^{2k} \, \mathrm{d} r \ &= 8 \pi \sum \limits{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2} = 8 \pi \frac{3}{4} \zeta(2) = 8 \pi \frac{\pi^2}{8} \ &= \pi^3 . \end {Alinee el}