¿Es cierto que si $(a_{n+1}-a_n)\to 0$ y $(a_n)$ está acotado, entonces $(a_n)$ es convergente

Question

Quiero probar o refutar lo siguiente

Dejemos que $(a_n)$ sea una secuencia acotada tal que $$\lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=0$$ Entonces $(a_n)$ es convergente.

Mi idea para demostrar que la proposición anterior es verdadero es la siguiente: como $(a_n)$ está acotado, tiene puntos límite. Entonces, al suponer que la secuencia no es convergente, hay dos puntos límite diferentes $\alpha$ y $\beta$ y las sucesiones de $(a_n)$ : $(a_{k_n})$ y $(a_{j_n})$ tal que $a_{k_n}\to \alpha$ y $a_{j_n}\to\beta$ . Ahora, traté de construir una subsecuencia $(a_{p_n})$ de $(a_n)$ con la propiedad $p_{2n+1}=p_{2n}+1$ tal que $(a_{p_{2n+1}})$ es una sucesión de $(a_{k_n})$ y $(a_{p_{2n}})$ es una sucesión de $(a_{j_n})$ por lo que existirá una subsecuencia de la secuencia $(a_{n+1}-a_{n})$ convergente a $\alpha-\beta$ lo que sería una contradicción. Mi problema era que no podía demostrar que se puede siempre construir la subsección $(a_{p_n})$ .

Answer 1

No: considere la secuencia $$1,0,\frac12,1,\frac23,\frac 13,0,\frac 14,\frac24,\frac 34,1,\frac 45,\frac35,\frac25,\frac15,0,\ldots$$

Answer 2

Así que sabemos que es falso cuando quitamos "bounded", simplemente dejando que $a_{n+1} - a_n = \frac1n$ . Esta secuencia "camina lentamente hacia el infinito"

Podemos producir un ejemplo acotado, simplemente estableciendo límites en digamos $-2$ y $2$ y reflejando la secuencia a medida que avanza, para que siempre se mantenga dentro de $[-2,2]$ pero todavía tenemos $|a_{n+1}-a_n| = \frac1n$ . Entonces esta secuencia no converge.

Answer 3

Además, podríamos elegir alguna secuencia de Cauchy no convergente en un espacio no completo, si no estamos restringidos a $\mathbb{R}$ .