¿Hay una función$f$ que sea diferenciable en$(0, 1)$ y satisfaga \begin{equation*} \begin{gathered} \lim_{r \to 0+} |f(r)|=\infty, \\ \lim_{r \to 0+} \frac{|f(r)|}{|f'(r)|} = \infty. \end {gather} \ end {ecuación *}
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Martin
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La pregunta se puede reformular como:
construir un$f>0$% sobre$(0,1)$ tal que$f(r)\to \infty$,$(\log f(r))'\to 0$ como$r\to 0$.
Aquí, por supuesto, el primo denota derivada. Tal función no puede existir. Si existiera, dado que$(\log f)'\to 0$, la integral $$ \ tag {1} \ int_0 ^ r (\ log f (s)) '\, ds $$ sería finita para todos$r\in (0, 1)$. Pero el cálculo directo muestra que (1) es igual a $$ \ log f (r) - \ lim_ {s \ a 0} \ log f (s) = - \ infty. $$
Vamos a tratar con $r \to 1^-$. El mismo análisis se aplica a $r \to 0^+$ reemplazando $f(r)$$f(1-r)$$f'(r)$$-f'(1-r)$, lo que cambia el signo del límite en cuestión.
Supongamos que $f(r) \to \infty$$r \to 1^-$. Entonces, existe algún intervalo de $(1-\epsilon, 1)$ que $\log(f(r))$ está definido (debido a $f(r)$ finalmente es positivo) y $\log(f(r)) \to \infty$ $r \to 1^-$ ya $\log(s) \to \infty$$s \to \infty$. A continuación, $$\frac{d}{dr}\log(f(r)) = \frac{f'(r)}{f(r)}$ $ lo Elegir un punto de $t_0 \in (1-\epsilon, 1)$. A continuación, por el Valor medio Teorema, para cada una de las $r \in (t_0, 1)$, $c_r \in (t_0, r)$ tal que $$\frac{d}{dr}\log(f)(c_r) = \frac{\log(f(r)) -\log(f(t_0))}{r - t_0}$$ and $r-t_0$ remains bounded away from zero as $r$ converges to $1$. Since $\log(f(r))$ converges to infinity as $r$ converges to the limit, we see that there is a sequence of points $x_n \en (t_0, 1)$ such that $\frac{d}{dr}\log(f)(x_n) \to \infty$. Because $t_0 \en (1-\epsilon, 1)$ was arbitrary, this means that $$\limsup_{r\to1^-}\frac{f'(r)}{f(r)} = \limsup_{r\to1^-}\frac{d}{dr}\log(f)(r) = \infty.$$
Esto muestra la pregunta por la OP a ser incorrecta, porque el limsup que tenemos se aplica a la recíproca de la límite se preguntó acerca de la OP.
Por otra parte, vemos que este resultado es el mejor que podemos hacer, ya que no podemos garantizar la convergencia de esta relación de a $\infty$, debido a $f'$ puede acercarse a $-\infty$, mientras que impactan $f(r)$ muy poco. Por ejemplo, $\sqrt{-x}$ $(-1, 0)$ ha derivado $\frac{-1}{2\sqrt{-x}} \to -\infty$$x \to 0$, pero el cambio en la función por encima de este intervalo finito es finito. Ahora, parece que se pueden combinar muchos de estos ejemplos y suavemente se conecta a ellos para obtener una función tal que $\limsup_{r\to1^-}\frac{f'(r)}{f(r)} = \infty$$\liminf_{r\to1^-}\frac{f'(r)}{f(r)} = -\infty$. De hecho, este fenómeno de $f'$ poder estar cerca de $\infty$ en valor absoluto y $f$ cambio de muy poco es otra razón por la que el límite se preguntó por el OP es falso, porque $f'$ de repente puede llegar a ser muy grande, mucho más grande de lo $f$, en pequeños chorros y por lo que el límite no existe.
También, como un tecnicismo, el denominador puede igual a cero, a veces si $f'(r) = 0$ a menudo... pero ya que usted se está preguntando de que el límite es infinito, entonces no es realmente un problema, supongo.
user142385
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