Factorización de un polinomio cuadrático (nivel principiante absoluto), ¿son correctas ambas respuestas?

Question

Estoy siguiendo tutoriales en vídeo sobre la factorización de polinomios cuadráticos. Así que me dan el polinomio:

$$x^2 + 3x - 10$$

Y me dan la tarea de encontrar los valores de $a$ y $b$ en:

$$(x + a) (x + b)$$

Obviamente, la respuesta es: $$(x + 5)(x - 2)$$

Sin embargo, la respuesta también puede ser:

$$(x - 2) (x + 5)$$

Sólo quiero asegurarme de que si la pregunta pide los valores de ' $a$ y $b$ ', entonces ' $a$ puede ser $5$ o $-2$ y ' $b$ puede ser $5$ o $-2$ .

Por lo tanto, si se pregunta cuáles son los valores de ' $a$ y $b$ Las dos respuestas siguientes son correctas:

Respuesta $1$
$a = -2$
$b = 5$
o
Respuesta $2$
$a = 5$
$b = -2$

Seguro que es una pregunta totalmente obvia, pero soy principiante en esto.

Answer 1

Sí, tiene razón. Desde $(x+5)(x-2) = (x-2)(x+5) = x^2 + 3x-10$ observamos que $a$ y $b$ puede tomar los valores $(5,-2)$ o $(-2,5)$ .

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Me parecería insuficiente dar sólo una de las dos soluciones, ya que en la propia pregunta se piden los valores de $a$ y $b$ pero en ninguna parte menciona que sean únicos. Sin embargo, cualquier pregunta que diga "hallar los valores de $a$ y $b$ " es incorrecto con la palabra "el" : están asumiendo la unicidad de $a$ y $b$ La pregunta citada por usted incluye la palabra "el", lo que induce a error.

Answer 2

Para propiedad conmutativa de producto tenemos que

$$(x + 5)(x - 2)=(x - 2)(x + 5)$$

tenga en cuenta que también

$$(-x + 2)(-x - 5)$$

es una factorización correcta.

Answer 3

Tienes razón.

$$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$$

y por identificación con $x^2+3x-10$ ,

$$\begin{cases}a+b=3,\\ab=-10.\end{cases}$$

Se trata de un sistema de ecuaciones no lineal, y dada la conmutatividad de la suma y la multiplicación, está claro que si $(u,v)$ es una solución, también lo es $(v,u)$ .

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Ahora cabe preguntarse si podrían existir más de dos soluciones. Como $a=0$ no puede ser una solución, podemos escribir

$$3a=(a+b)a=a^2+ab=a^2-10$$

que es la ecuación original (con inversión de signo)

$$a^2-3a-10=0.$$

Para poder concluir, debes invocar el teorema fundamental del álgebra, que implica que una ecuación cuadrática no puede tener más de dos raíces.

Así que existen exactamente estas dos soluciones: $a=-2,b=5$ y $a=5,b=-2$ .