Que $E$ ser un Banach separable espacio y deje que $S_E={x \in E \ | \ |x| = 1}$. ¿Si $A \subset S_E$ es incontable, debe tener un punto de acumulación $A$?
Obviamente si es contable $A$ la respuesta no es si $E$ es infinito dimensional.
Respuesta
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De hecho, si $A \subset X$ es incontable donde $X$ es cualquier separable y completo espacio métrico (o para el caso, cualquier completar la segunda contables topológica del espacio), a continuación, $A$ debe tener un punto de acumulación.
Una prueba es la siguiente: tome $\{x_n\}$ a ser una secuencia que es denso en $X$. Definir $$ B_{j,k} = \left\{x \in X : |x - x_j| < \frac 1k\right\} $$ Tenemos $X = \bigcup_{j=1}^\infty B_{j,k}$ todos los $k = 1,2, \dots$.
Debe existir un $j_1$ tal que $A \cap B_{j_1,1}$ es incontable. Deje $A_1 = A \cap B_{j_1,k}$. Continuar en una moda para $k \geq 2$; en cada paso, debe existir una $j_k$ tal que $A_{k-1} \cap B_{j_k,k}$ es incontable.
Seleccione una secuencia arbitraria $\{a_n\} \subset A$$a_k \in A_k$. La secuencia de $a_n$ es de Cauchy y por lo tanto convergente, por lo $A$ debe tener un punto de acumulación.
