Una conjetura que relaciona dos cónicas intrínsecamente ligadas a cualquier triángulo

Question

Dado cualquier triángulo $\triangle ABC$, vamos a considerar dos lados, por ejemplo,$AC$$BC$.

Dibujamos dos elipses, uno con focos en $A,C$ pasando por $B$, y el otro con focos en $B,C$ y pasando por $A$, obteniendo dos puntos de $D$ $E$ donde las dos elipses se cruzan.

Ahora, nos dibuja dos líneas rectas, una pasando por $A$ $C$ y el otro pasando $B$, $C$, la anotación de los puntos de intersección $F,G,H,I,J,K$ con las dos elipses.

Mi conjetura es que

Dado cualquier triángulo $\triangle ABC$, seis puntos de $F,H,D,G,I,E$ y los seis puntos de $A,J,D,K,B,E$ siempre que determinar dos cónica-secciones.

NOTA: Esta conjetura es inspirado por este y este, aunque yo no era capaz hasta el momento de utilizar las herramientas sugeridas en él para probarlo.

Gracias por cualquier sugerencia para un compacto de la prueba!

Answer 1

Su conjetura es verdadera y puede ser demostrado de la siguiente manera.

Considerar las cónicas $\Gamma=DHFEBK$, $\Gamma'=DJAEIG$ y $\Psi=DHFEJ$. Tenemos que probar que $G\in\Psi$.

Desde $C$ es un foco común de $\Gamma$$\Gamma'$, corrensponds bajo la homología $\Lambda$ de centro $C$ y el eje de la $DE$ envío de $B$ a $J$. En consecuencia, tenemos $\Lambda(K)=G$.

En el cónicas $\Gamma$ $\Psi$ consideran, respectivamente, los hexágonos $DEFKBH$ $DEFG'JH$ donde $G'$ es la intersección de a $\Psi$ $AC$ otros de $F$. Entonces por Pascal del Teorema de las líneas de $KB$ $G'J$ reúne $DE$. En consecuencia, $G'$ debe ser la imagen de $K$ bajo $\Lambda$, por lo tanto $$G'=\Lambda(K)=G$$ lo que concluye la prueba.