Asintótica para $y'' + \frac{\epsilon y'}{y^2} - y' = 0$, $y(-\infty) = 1, y(+\infty) = \epsilon$.

Question

<blockquote> <p>Asintótica para $y'' + \frac{\epsilon y'}{y^2} - y' = 0$, $y(-\infty) = 1, y(+\infty) = \epsilon$.</p> </blockquote> <p>Empecé con una regular extensión $$y^2y'' + \epsilon y' - y^2 y' = 0$ $ y #% $ de $$y = y_0 + \epsilon y_1 + O(\epsilon^2)$% #% y $y_0(-\infty) = 1, y_0(+\infty) = 0$.</p> <p>El orden cero Oda es $y_1(-\infty) = 0, y_1 (+\infty) = 1$ $ eso da $$ y_0'' - y_0' = 0$, pero puede no puede satisfacer la condición de frontera. ¿Cómo debo plantear diferentemente? Así que este problema es un problema de perturbaciones singulares. No podemos usar WKB porque esto no es lineal, y no estoy familiarizado con el cálculo de la capa límite explícito en un dominio sin límites,</p>

Answer 1

La ecuación diferencial tiene una solución exacta en forma implícita

$$ x - x_0 = \frac{\ln \left( cy + y ^{2}+\epsilon \right)}{2} +{\frac {c}{\sqrt {{c}^{2}-4\, \epsilon}}{\rm arctanh} \left({\frac {2\,y +c}{\sqrt {{c}^{2}-4\, \epsilon}}}\right) } $$

En realidad es mejor (el cambio de la constante de $x_0$) para escribir esto como

$$ x - x_0 = \frac{\ln \left(- cy - y ^{2}-\epsilon \right)}{2} +{\frac {c}{\sqrt {{c}^{2}-4\, \epsilon}}{\rm arctanh} \left({\frac {2\,y +c}{\sqrt {{c}^{2}-4\, \epsilon}}}\right) }$$ Si $c = -1-\epsilon$, resulta que el lado derecho se vaya a$-\infty$$y \to \epsilon+$$+\infty$$y \to 1-$.

Answer 2

Permítanos integrar la ecuación diferencial de una vez para deshacerse de la segunda derivada: $y'-\epsilon/y-y = c$ donde $c$ es una constante. Para satisfacer la condición de contorno $y(-\infty) = 1$, $y'(-\infty)=0$, no hay ninguna otra opción que la de $c=-(1+\epsilon)$. Este Chini ecuación se reescribe como $y' = (y-1)(y-\epsilon)/y$, por lo que el $y$ es monótonamente decreciente si $0<\epsilon<1$. Implícita la solución analítica se define a una constante $k$: $$ k + x = \frac{1}{2}\ln((y-\epsilon)(y-1)) - \frac{1+\epsilon}{1-\epsilon} \tanh^{-1}\left(\frac{2y - (1+\epsilon)}{1-\epsilon}\right) . $$ Después de algunos álgebra, tenemos $$ k + x = \ln\left(-\left(\frac{1-y}{(y - \epsilon)^\epsilon}\right)^{1/(1-\epsilon)}\right) $$ para $\epsilon <y<1$. Tener $x$ real, la constante puede ser elegido como $k = \text{i}\pi$. Por ejemplo, en el caso de $\epsilon=1/2$, podemos obtener la solución de $y(x) = \frac{1}{2} \left(e^x + 2 - \sqrt{e^x (e^x + 2)}\right)$, que coincide con las condiciones de contorno:

Esto puede dar una idea sobre cómo usar la perturbación de los métodos en este caso.

Vamos a presentar el método de igualada expansiones asintóticas. La idea es la siguiente. Como se especifica en el OP, un perturbado solución de $y_O = y_0 + \epsilon y_1 + \dots$ satisface \begin{aligned} y''_0-y'_0 &= 0, \\ y''_1-y'_1 &= -y'_0/{y_0}^2, \end{aligned} etc., así que $$ y_O = a + be^x + \epsilon\left[c + de^x + \frac{a}{b^2} \left(\ln(a+be^x) - x\right) e^x\right] + \dots \, , $$ donde las constantes $a$, $b$, $c$, $d$ necesita ser determinado. Es imposible que una expansión coincide con las condiciones de contorno en $\pm\infty$. Por un reescalado de la abscissas como $\xi = x\epsilon^\alpha$, la variable $Y(\xi) = y(x)$ satisface $\epsilon^{2\alpha}Y''+\epsilon^{1+\alpha}Y'/Y^2 - \epsilon^\alpha Y' = 0$ cuando los derivados son calculados w.r.t. $\xi$. El distinguido límite es $\epsilon\left( Y''+ Y'/Y^2\right) - Y' = 0$, correspondiente a $\alpha=1$. Un perturbado solución de $Y_I = Y_0 + \epsilon Y_1 + \dots$ satisface \begin{aligned} Y'_0 &= 0,\\ Y'_1 &= Y''_0-Y'_0/{Y_0}^2, \end{aligned} etc., de modo que $Y_I = A + \epsilon B + \dots,$ donde las constantes $A$, $B$ necesita ser determinado. Por lo tanto, se puede construir una trozos asintótica de expansión de la solución, con una expansión $(Y_I)^-$ en la vecindad de $-\infty$, una expansión $Y_O$ en la vecindad de $x=0$ y una expansión $(Y_I)^+$ en la vecindad de $+\infty$. Entonces, las soluciones son coincidentes en la transición de un dominio a otro.