Distribución de la temperatura en estado estacionario en una región no limitada (ecuación de Laplace en coordenadas esféricas)

Question

Estoy tratando de encontrar la distribución de temperatura en estado estacionario en la región infinita fuera de una esfera de radio unitario centrada en el origen, donde la temperatura toma el valor $u = f(\theta$ ) en la superficie esférica, $((r ,\theta , \phi)$ siendo coordenadas polares esféricas), y $u \to 0$ como $r \to \infty$ .

Mi libro de texto me dice que la solución es

$$u(r, \theta) = \sum\limits_{n = 0}^\infty \dfrac{A_n}{r^{n + 1}}P_n(\cos(\theta)),$$

donde $$A_n = \dfrac{(2n + 1)}{2} \int_0^\pi f(\theta)P_n(\cos(\theta))\sin(\theta) \ d \theta,$$

donde $P_n$ es el $n^{th}$ Polinomio de Legendre, pero no entiendo cómo llegó a esta solución.

Agradecería mucho que la gente se tomara la molestia de explicar cómo se resuelve este problema, para que yo entienda cómo se hace para tipos de problemas similares.

Answer 1

La solución propuesta es una expansión clásica para la solución de la ecuación de Laplace con condiciones de contorno axiales. En esta simetría, como se indica en los comentarios, la ecuación a resolver puede escribirse como \begin{equation} \dfrac{\partial}{\partial{r}} \left( r^2 \dfrac{\partial{u}}{\partial{r}} \right) + \dfrac{1}{ \sin(\theta)} \dfrac{\partial}{\partial{\theta}}\left( \sin(\theta)\dfrac{\partial{u}}{\partial{\theta}} \right) = 0 \end{equation} A continuación se describe brevemente el método. Soluciones obtenidas por separación de las variables: $u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)$ debe verificar \begin{equation} \frac{1}{R(r)}\dfrac{\partial}{\partial{r}} \left( r^2 \dfrac{\partial{R(r)}}{\partial{r}} \right)=-\frac{1}{\Theta(\theta)}\dfrac{1}{ \sin(\theta)} \dfrac{\partial}{\partial{\theta}}\left( \sin(\theta)\dfrac{\partial{\Theta(\theta)}}{\partial{\theta}} \right)=A \end{equation} donde $A$ es una constante. El $\Theta$ -Las soluciones de ODE son funciones de Legendre de $\cos\theta$ . La condición de no divergencia para $0\le \theta\le 2\pi$ implica \begin{equation} \frac{1}{2}\sqrt{1+4A}-\frac{1}{2}=\ell \end{equation} donde $\ell$ es un número entero positivo, por lo que $\Theta(\theta)=b_\ell P_\ell (\cos\theta)$ (donde $b_\ell$ es una constante). Entonces, la solución para $R$ que no diverge para $r\to\infty$ es $R(r)=b_\ell r^{-\frac{1}{2}\sqrt{1+4A}-\frac{1}{2}}=b_\ell r^{-\ell-1}$ . Una solución general para la ecuación de Laplace puede escribirse como una superposición \begin{equation} u(r,\theta)=\sum_{\ell=0}a_lr^{-\ell-1}P_\ell \left( \cos\theta \right) \end{equation} Por último, las constantes $a_\ell$ están determinadas por la condición de contorno $u(1,\theta)=f(\theta)$ . Utilizando el propiedades de ortogonalidad de los polinomios de Legendre obtenemos el resultado dado.