Cómo evaluar la integral$\int_{0}^{2\pi}e^{-iA(x\cos\varphi+y\sin\varphi)}\cos(l\varphi)\,d\varphi$?

Question

$$\int_{0}^{2\pi}\exp\left(-iA(x\cos\varphi+y\sin\varphi)\right)\cos(l\varphi)\,d\varphi$$

Estoy tratando de evaluar la integral de una interferencia del problema en la Física. Al $y=0$, esto se reduce a la Función de Bessel de primera especie, y al $l=1$, puedo diferenciar en la integral w.r.t. $x$ y evaluar la integral (que da a una de primer orden de la función de Bessel de primera especie). Sin embargo, estoy en busca de una respuesta más general, donde $l$ es cualquier entero, y $A$ es una constante arbitraria.

Aquí hay un enlace a una pregunta similar publicado hace 2 años. Cómo resolver la integral de la $\int_0^{2\pi} e^{i(a\cos\phi + b\sin\phi)} \cos\phi\ d\phi$

Answer 1

Dejar $\rho = \sqrt {x^2 + y^2}, \phi = \arctan(x, y)$. Entonces $$ \ int_0 ^ {2 \ pi} e ^ {- i A (x \ cos t + y \ sin t)} \ cos lt \, dt = \\ \ int_0 ^ {2 \ pi} e ^ {- i A \ rho \ cos (t - \ phi)} \ cos lt \, dt = \ cos l \ phi \ int_0 ^ {2 \ pi} e ^ {- i A \ rho \ cos t} \ cos lt \, dt = \\ 2 \ pi (-i) ^ l \ cos l \ phi \, J_l (A \ rho). $$

Answer 2

Recordemos una forma integral de la función de Bessel de primera especie $J_\ell(y)$ $\ell$ entero: $$ J_\ell(y)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} e^{i(y\sin \varphi-\ell\varphi)}d\varphi $$ que es un número real.

Ahora por tu pregunta, definir el vector unitario $\vec{n}(\varphi)=(\cos\varphi, \sin\varphi)$$\vec{r}=(x,y)$. Tenga en cuenta que el exponente en el integrando es ahora $$ -i(x\cos \varphi+y\sin\varphi)=-i\vec{n}\cdot \vec{r} $$ Definir las siguientes integrales Del mismo modo, definir dos más integrales $$\begin{aligned} I_\ell(\vec{r})&=\int_0^{2\pi} e^{-i\vec{n}(\varphi)\cdot\vec{r}}\cos (\ell \varphi) d\phi\\ I'_\ell(\vec{r})&=\int_0^{2\pi} e^{-i\vec{n}(\varphi)\cdot \vec{r}}\sin \ell \varphi d\varphi\\ \widetilde{I_\ell}(\vec{r})&= \int_0^{2\pi} e^{-i[\vec{n}(\varphi)\cdot \vec{r}-\ell\varphi]} d\varphi = I_\ell(\vec{r})+iI'_\ell(\vec{r}) \end{aligned} $$ Tenga en cuenta que $I_\ell$ $I'_\ell$ son reales si $\ell$ es aún, y puramente imaginario, de lo contrario (utilice el hecho de que $\vec{n}\to -\vec{n}$$\varphi\to \pi+\varphi$). Esto significa $I_\ell$ es la parte real de la $\widetilde{I}$ si $\ell$ es aún, y es igual a $i\mathfrak{I}(\widetilde{I_\ell})$ si $\ell$ es impar.

De pasar... Vamos a $R_{\theta}$ ser una matriz de rotación (alrededor de $z$-eje, es decir, una rotación 2D) por un importe $\theta$. Tenga en cuenta que, en general,$\vec{u}\cdot R_\theta \vec{v}=R_{-\theta}\vec{u}\cdot \vec{v}$. Por otra parte, $R_\theta \vec{n}(\varphi)=\vec{n}(\varphi+\theta)$. El uso de estos hechos, encontrar (voy a dejar los detalles para usted) $$ \widetilde{I_\ell}(R_\theta\vec{r})= e^{-i\theta \ell} \widetilde{I_\ell}(\vec{r}) $$ Al mismo tiempo, vamos a $\theta(\vec{r})$ ser tal que $R_\theta \vec{r}=(0,Y)$ $Y(\vec{r})=\sqrt{x^2+y^2}$ (no $x$-componente). Si usted necesita una fórmula $\theta(\vec{r})=\pi/2-\arctan y/x$. Entonces $$ \widetilde{I_\ell}(\vec{r})=e^{i\theta(\vec{r})\ell}\int_0^{2\pi} e^{-i(Y(\vec{r})\sin \varphi-\ell\varphi)}d\varphi= 2\pi e^{i\theta(\vec{r})\ell} J_\ell(Y(\vec{r})) $$ Por lo tanto $$ \boxed{ I_\ell(\vec{r})=\begin{cases} 2\pi \cos [\theta(\vec{r})\ell] J_\ell(Y(\vec{r})) & \ell\text{ even}\\ 2\pi i \sin [\theta(\vec{r})\ell] J_\ell(Y(\vec{r})) & \ell\text{ odd} \end{casos} } $$