Evaluar

Question

Alguna idea de cómo evaluar esta integral sobre la esfera?

$$ \int_{S^2} \frac{dx \wedge dy}{z} e^{1 - (x^2 + y^2)} = \underbrace{\cdots }_{ (0,0,1)} + \underbrace{\cdots }_{ (0,0,-1)}$$

He considerado el uso de Verde del Teorema o de Stokes Teorema. La esfera podría ser leído como el límite de la bola de $B = \{ x^2 + y^2 + z^2 < 1\}$, pero ¿qué podría el diferencial de la forma de ser? Tal vez se podría encontrar la divergencia $\nabla \cdot F$.

Otra idea podría ser la de aprovechar la rotación de la invariancia:

\begin{eqnarray*} x&=& \;\,x \cos \theta + y \sin \theta\\ y &=& -x \sin \theta + y \cos \theta \end{eqnarray*}

y al integrar sobre el resto de intervalo de $[-1,1]$.

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Vamos a comprobar que nuestros 2-formulario se define en los polos de los hemisferios. Si $z \approx 0$ vamos a decir $z = \varepsilon \ll 1$$(x,y) = \sqrt{1 - \varepsilon^2} (\cos \theta, \sin \theta)$. A continuación, utilizando la polar coordinaes forma de área $dx \wedge dy = r \, dr \wedge d\theta$:

\begin{align} \frac{dx \wedge dy}{z} & = \frac{dx \wedge dy}{\sqrt{1 - (x^2 + y^2)}} \\[10pt] & \approx \frac{d \big( (1 - \frac{1}{2}\varepsilon^2)(\cos \theta) \big)\wedge d \big( (1 - \frac{1}{2}\varepsilon^2)(\sin \theta)\big)}{\varepsilon} = \frac{\varepsilon (-2\varepsilon) \,d\varepsilon \wedge d\theta}{\varepsilon} \end{align}

Y es que parece que el epsilon de la cancela. Una más cuidadosa verificación debe utilizar el valor medio teorema.

Answer 1

De hecho, se puede aplicar el Teorema de Stokes. Como @md2perpe observado, $\dfrac{dx\wedge dy}z$ es el área de $2$forma $\sigma$ en la unidad de la esfera, por lo que puede ser expresado en lugar de como $$\sigma = x\,dy\wedge dz + y\,dz\wedge dx + z\,dx\wedge dy.$$ (Esta es la forma habitual de la zona $2$-forma integrada de la unidad de vectores normales de campo.) Por cierto, esto se puede verificar directamente: Desde $x^2+y^2+z^2=1$, en $S^2$ tenemos $x\,dx + y\,dy + z\,dz = 0$, por lo que \begin{align*} z\sigma &= x\,dy\wedge z\,dz + z\,dz\wedge y\,dx + z^2\,dx\wedge dy \\ &= (x\,dy - y\,dx)\wedge (-x\,dx-y\,dy) + z^2\,dx\wedge dy \\ &= (x^2+y^2+z^2)\,dx\wedge dy = dx\wedge dy, \end{align*} como se desee.

El próximo simplificar por escrito $e^{1-(x^2+y^2)} = e^{z^2}$. Por lo tanto, por el Teorema de Stokes, $$\int_{S^2} e^{z^2}\sigma = \int_D e^{z^2}(3+2z^2)dx\wedge dy\wedge dz,$$ donde $D$ es la unidad de la bola de $\{x^2+y^2+z^2\le 1\}$. Vamos a terminar prácticamente en el mismo lugar. Haciendo el $dx\,dy\,dz$ integral en ese orden, nos encontramos con $$\int_{-1}^1 e^{z^2}(3+2z^2)\big(\pi(1-z^2)\big)\,dz.$$ Con la habitual integración por partes, usted terminará para arriba con algunos de los múltiples de $\int_0^1 e^{t^2}\,dt$ @md2perpe observado directamente.

P. S. ¿Cuál es $\dots$ en el lado derecho de la ecuación significa?

Answer 2

Aquí vienen mis cálculos.

Sé que desde antes de que $\frac{\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y}{z}$ es el ámbito de la unidad de superficie del elemento que en coordenadas esféricas, $(x,y,z) = (r \sin\varphi \cos\theta, r \sin\varphi \sin\theta, r \cos\varphi),$ puede ser escrito $\sin\varphi \, \mathrm{d}\varphi \wedge \mathrm{d}\theta.$ La integral se convierte por lo tanto $$ \iint_{S^2} e^{\cos^2\varphi} \sin\varphi \, \mathrm{d}\varphi \wedge \mathrm{d}\theta = \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{\pi} e^{\cos^2\varphi} \sin\varphi \, \mathrm{d}\varphi \right) \mathrm{d}\theta = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\pi} e^{\cos^2\varphi} \sin\varphi \, \mathrm{d}\varphi \\ = \{ t = \cos\varphi \} = 2\pi \int_{1}^{-1} e^{t^2} (-\mathrm{d}t) = 2\pi \int_{-1}^{1} e^{t^2} \mathrm{d}t. $$