Radio de convergencia de $\sum_{k=1}^{\infty} {{k^{\sqrt k}}x^{k}}$

Question

Yo actualmente soy informática sumas para encontrar el intervalo/radio de convergencia.

Pero recientemente estoy atrapado con esta suma: $\sum_{k=1}^{\infty} {{k^{\sqrt k}}x^{k}}$.

Traté de aplicar el cociente prueba $\lim{k \to \infty}|\frac{a{k+1}}{ak}|$, así: $\lim{k \to \infty}|\frac{{(k+1)^{\sqrt {k+1}}}x^{k+1}}{{k^{\sqrt k}}x^{k}}|$.

Ahora podemos escribir esto como: $\lim_{k \to \infty}|\frac{{(k+1)^{\sqrt {k+1}}}x}{{k^{\sqrt k}}}|$.

Supongo que ahora podría escribir esto como: $|x|\cdot\lim_{k \to \infty}|\frac{{(k+1)^{\sqrt {k+1}}}}{{k^{\sqrt k}}}|$.

Aquí estoy atrapado ya que no sé cómo más simplificar o resolver el límite. Estaría muy contento si alguien me podría mostrar cómo resolver la última parte.

Answer 1

A raíz de su enfoque de prueba de relación tenemos

$$\frac{{(k+1)^{\sqrt {k+1}}}}{{k^{\sqrt k}}}=\frac{{(k+1)^{\sqrt {k+1}}}}{{k^{\sqrt {k+1}}}}\frac{{k^{\sqrt {k+1}}}}{{k^{\sqrt k}}}=\left(1+\frac1k\right)^{\sqrt {k+1}}k^{(\sqrt {k+1}-\sqrt k)}\to 1$$

de hecho

$$\left(1+\frac1k\right)^{\sqrt {k+1}}=\left[\left(1+\frac1k\right)^k\right]^{\frac{\sqrt {k+1}}{k}}\to e^0=1$$

y

$$k^{(\sqrt {k+1}-\sqrt k)}=e^{(\sqrt {k+1}-\sqrt k)\log k}=e^{\frac{\log k}{\sqrt {k+1}+\sqrt k}}\to e^0=1$$

Answer 2

De la prueba de la raíz tenemos

$$\lim{k\to \infty}\sqrt[k]{\left|k^{\sqrt k}x^k\right|}=|x|\lim{k\to\infty}k^{1/\sqrt{k}}=|x|$$

¿Puede terminar?

Answer 3

Similar a la respuesta de gimusi, considerar % $ $$a_k=\frac{{(k+1)^{\sqrt {k+1}}}}{{k^{\sqrt k}}}\implies \log(a_k)={\sqrt {k+1}}\log(k+1)-\sqrt k \log(k)$que podemos escribir como % $ $$\log(a_k)=\sqrt k \sqrt{1+\frac{1}{k}}\left(\log(k)+\log \left(1+\frac{1}{k}\right) \right)-\sqrt k \log(k)$ahora, con expansiones de Taylor y simplificar, debemos terminar con

$$\log(a_k) =\frac{1+\frac 12 \log(k)}{\sqrt k}+O\left(\frac 1k\right)$$ $$a_k=e^{\log(a_k)}=1+\frac{1+\frac 12 \log(k)}{\sqrt k}+O\left(\frac 1k\right)$$