¿Cómo calculamos la homología a partir del nervio $\text{Nrv}(\Sigma)$ para $\Sigma=\{S^n,\dots,S^n\}$ cubriendo el complejo CW $M$ ?

Question

Supongamos un complejo CW $M$ viene dada por la unión de $n$ -esferas, a saber $M=\bigcup_{\alpha\in A}S^n$ sin conocimiento de las intersecciones. El único requisito es que la unión abarque $M$ . Sea $\Sigma=\{S^n,\dots,S^n\}$ sea una colección finita de conjuntos, con cardinalidad $|A|$ . El nervio está formado por todas las subcolecciones cuyos conjuntos tienen una intersección común no vacía, $\text{Nrv}(\Sigma)=\left\{X\subseteq\Sigma\big|\bigcap X\ne\emptyset\right\}$ que es un complejo simplicial abstracto. El nervio debería tener un aspecto similar al siguiente (por ejemplo, un complejo de Cech):

Es decir, podemos disponer las esferas en la configuración que queramos, siempre y cuando la configuración siga cubriendo $M$ . (De hecho, podemos "separar" las esferas todo lo posible para que sigan cubriendo $M$ -una configuración óptima- con la menor cantidad de esferas utilizadas).

¿Cómo se calculan los grupos homológicos $H_k(M;\mathbb{Z})$ del nervio $\text{Nrv}(\Sigma)$ para $\Sigma=\{S^n,\dots,S^n\}$ cubriendo el complejo CW $M$ ?

Idea : Como necesitamos información sobre las intersecciones, supongamos que construimos lo siguiente configuración óptima . Comience con dos $n$ -esferas unidas en un punto base, a saber $S^n\vee S^n$ . A continuación, construya otros dos $n$ -esferas que pasan por el punto de intersección de $S^n\vee S^n$ . Por último, continuamos el proceso construyendo otras esferas $S^n$ que pasan por los "puntos" de intersección de otras esferas. Escribimos "puntos" teniendo en cuenta que la intersección de dos $n$ -esferas es en realidad un $(n-1)$ -esfera. El puntos a las que nos referimos son las correspondientes a las dos intersecciones en el $S^2$ proyección ortográfica sobre un plano. Por supuesto, podemos variar el radio de la esfera con esta construcción.

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Como mencionó Mike Miller, la condición que queremos es que el $k$ -intersecciones dobles, para $k$ suficientemente grandes, son todas vacías o contraíbles. Entonces el complejo de Cech de esta cubierta (con la gavilla constante $\mathbb{Z}$ ) recupera la homología de la variedad. El caso general en el que $k$ -Las intersecciones de pliegues no son contractibles, sino que adopta la forma de una secuencia espectral que implica la cohomología de las distintas intersecciones. No estoy seguro, sin embargo, de cómo hacer esto matemáticamente preciso.

Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Pregunta muy interesante, lamentablemente esto no es suficiente para saber el nervio. Para un contraejemplo explícito considere $M_1$ y $M_2$ dada como la unión de dos círculos, donde los círculos en $M_1$ se cruzan dos veces y el círculo en $M_2$ se cruzan cuatro veces. Los nervios son isomorfos pero los grupos homológicos no son isomorfos.

Cuando el recubrimiento está dado por bolas abiertas, para poder calcular la homología usando el nervio necesitas asumir condiciones fuertes en las intersecciones (deben ser todas contractibles o vacías) en tu recubrimiento. Probablemente aquí también necesites condiciones fuertes, pero ahora mismo no se me ocurre ninguna buena.