Encontrar a representantes de clases GACION en $\text{Mat}_2(\mathbb{Q})$

Question

Que $S= {A \in \text{Mat}_2(\mathbb{Q}) : A^6 = I$ y $A^n \ne I$ para cualquier $0

Deseo describir las órbitas de cada uno de lo elemento en $S$ con respecto a la conjugación en $GL_2(\mathbb{Q})$ $\text{Mat}_2(\mathbb{Q})$.

No puedo ver cómo empezar. ¡Consejos son muy apreciados!

Answer 1

Deje $A\in S$. A partir de la condición de que $A^6=I$$A^n\neq I$$0<n<6$, llegamos a la conclusión de que el polinomio característico de a $A$ debe $x^2-x+1$. Pretendemos que $A$ es conjugado a $$X:=\begin{bmatrix}1&1\\ -1&0\end{bmatrix}\,.$$ Es decir, $S$ es una sola órbita con el representante de $X$.

Supongamos que $$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\,,$$ where $a,b,c,d\in\mathbb{Q}$ are such that $a+d=1$ and $ad-bc=1$. Take $$V:=\begin{bmatrix}1&1\\c-d&-a+b\end{bmatrix}\,.$$ Then, $\det(V)=-a+b-c+d$.
First, we claim that $\det(V)\neq 0$. Suppose contrary that $\det(V)=0$. That is, $$a+c=b+d\,.$$ Since $d=1-a$, we have $$c=b-2a+1\,.$$ As $ad-bc=1$, we get $a(1-a)-b(b-2a+1)=1$, or $$(a-b)^2-(a-b)+1=0\,;$$ nonetheless, the equation $t^2-t+1=0$ has no solution $t\in\mathbb{Q}$. This is a contradiction, and the claim is proven.
Note that $$X\,V=\begin{bmatrix}1&1\\-1&0\end{bmatrix}\,\begin{bmatrix}1&1\\c-d&-a+b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+c-d&1-a+b\\-1&-1\end{bmatrix}$$ and $$V\,A=\begin{bmatrix}1&1\\c-d& -a+b\end{bmatrix}\,\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a+c&b+d\\-ad+bc&-ad+bc\end{bmatrix}\,.$$ Because $a+d=1$ and $ad-bc=1$, it can be seen immediately that $X\,V=V\,A$, whence $A$ is conjugate to $X$.

Answer 2

Cada $A \in \operatorname{Mat}_2(\Bbb Q)$ tiene un conjugado elemento $PAP^{-1}$ ( $P \in GL_2(\Bbb Q)$ ), que en su Frobenius forma normal. Desde $S$ es cerrado bajo la conjugación, podemos representar cada órbita mediante la enumeración de los elementos de $S$ que tienen esta forma normal.

Cualquier elemento de $S$ tendrá un mínimo polinomio que divide $x^6 - 1$. Más de $\Bbb Q$, el polinomio $x^6 - 1$ factores en el producto $$ p(x) = x^6 - 1 = (x-1)(x+1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) $$ Eliminamos cualquier matrices cuyos mínimos polinomio se divide $x-1$, $x^2 - 1$, o $x^3 - 1$. La única monic polinomio sobre $\Bbb Q$ que se divide $p$ pero ninguno de estos pequeños polinomios es $q(x) = x^2 - x + 1$. Por lo tanto, $q$ debe ser el mínimo polinomio de nuestra matriz en $S$.

A la conclusión de que $S$ contiene exactamente una órbita, que pertenece a la representante $$ A = \pmatrix{0&-1\\1&1} $$

Answer 3

Deje $A$ ser una matriz en la $S$. Entonces su polinomio mínimo divide el annihilator polinomio $x^6-1=(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)(x + 1)(x - 1)$. Si $A$ tiene un racional autovalor, que el otro también es racional, por lo tanto autovalores son entre $\pm 1$, lo $A^2=I$, contradicción. Por lo $S$ tiene algún no-racional autovalor. Esta debe ser una raíz de uno de los factores $ (x^2 \pm x + 1)$, por lo que el otro autovalor es el Galois / complejo conjugado. Se excluyen de los factores que dividen a $x^3-1$, debido a que, a continuación,$A^3$$I$, contradicción. Por lo que el polinomio mínimo de a$A$$x^2-x+1$, por lo tanto tenemos una sencilla caracterización de $S$, $$ S=\left\{\ A=\begin{bmatrix}a& b\\ c& d\end{bmatrix}\ :\ \operatorname{Trace}(A)=a+d=1\ ,\ \det a= ad-bc=1\ \right\} \ . $$ Considere ahora dos matrices $A,B$ $S$ entradas $a,b,c,d$, y, respectivamente,$s,t,u,v$, $$ A = \begin{bmatrix}a& b\\ c& d\end{bmatrix} \ , \qquad B=\begin{bmatrix}s & t \\ u& v\end{bmatrix} \ . $$ Queremos (y mostrar cómo) para conjugar en cada uno de los otros. Por supuesto, $bc\ne 0$, por lo que una conjugación de la siguiente manera $$ \begin{bmatrix}1& n\\ 0& 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a& b\\ c& d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1& -n\\ 0& 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a+nc & *\\ *& *\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1& -n\\ 0& 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+nc & *\\ *& *\end{bmatrix} $$ puede ser encontrado para reducir la situación a una con $a=s$. La traza condición implica $d=v$. Ahora $bc=tu$ (no cero) el determinante de la condición, y la conjugación con una matriz diagonal (diagonal $1$$t/b$) resuelve el problema.