¿Existen soluciones integrales para $(2a-1)(2^{(b+c)}-3^c )=2^b-1$ ?

Question

¿Puede alguien demostrar esta afirmación? ¿O al menos sugerir un método de ataque? Ha surgido en mi investigación.

No existen $a,b$ y $c$ tal que $$(2a-1)(2^{(b+c)}-3^c )=2^b-1$$ donde $a>0,b>1,c>1$ y $a,b,c Z$

Esta pregunta surgió mientras comparaba 2 tipos de sumas: $S1=x+(3/2)x+(3/2)^2x+...+(3/2)^cx, S2=y+2y+2^2y+...+2^by$ para ver si alguna vez pueden ser iguales, dadas las restricciones específicas en la relación entre x e y - específicamente que $y=2x1$ y $x=2^c(2a1)$

Answer 1

Permítanme reescribir las letras para sus variables debido a mi larga práctica.
Suelo escribir $N$ para $c$ , $S$ para $c+b$ tal que $S = \lceil N \cdot \log_2(3) \rceil$ y $B$ para $b$ .
Además, para simplificar escribo $k$ para $2a-1$ , sin olvidar $k$ debe ser impar.

Me remito también a una fórmula de G. Rhin, citada en J. Simons [Si,07], para un límite inferior de $S \log 2 - N \log 3$ en función de $N$ .

Así que empezamos con su fórmula, simplemente reescrita en notación, y luego adaptada para la aplicación de la desigualdad de Rhin: $$\begin{array} {rl} k(2^S-3^N)&=2^B - 1 \\ k( (2^S/3^N)-1)&=(2^B - 1)/3^N \\ 2^S/3^N &= 1 + (2^B - 1)/k/3^N \end{array} \tag 1$$ Al logaritmizar y utilizar la serie de Mercator en el lado derecho nos da $$\small {S \ln2 - N \ln3 = (2^B - 1)/k/3^N -1/2((2^B - 1)/k/3^N)^2+ 1/3((2^B - 1)/k/3^N)^3 \pm \ldots }$$

Si se cancelan los términos pequeños de la derecha, se obtiene un en -igualdad $$S \ln2 - N \ln3 \lt (2^B - 1)/k/3^N \tag 2$$

Por G. Rhin tenemos lo que se debe a J. Simons (fórmula ligeramente reescrita para que se pueda memorizar mejor): $$\frac1{457}\frac1{N^{13.3}} \lt S \ln2 - N \ln3 \tag 3$$ Así que podemos concluir $$\begin{array} {rl} \frac1{457}\frac1{N^{13.3}} &\lt S \ln2 - N \ln3 &\lt (2^B - 1)/k/3^N \\ \frac1{457}\frac1{N^{13.3}} &\lt (2^B - 1)/k/3^N \end{array} \tag 4$$ Ahora tomando de nuevo los logaritmos se obtiene $$\small \begin{array} {rl} -6.13 - 13.3 \ln N &\lt \ln (2^B - 1) - \ln k - N \ln 3 \\ N \ln 3 - 13.3 \ln N &\lt 6.13 + B \ln 2 -(1/2^B + 1/2/4^B + ..) - \ln k \\ N \ln 3 - B \ln 2 - 13.3 \ln N &\lt 6.13 -(1/2^B + 1/2/4^B + ..) - \ln k \\ \end{array} \tag 5$$ Aquí, obviamente, la lhs es creciente con el aumento de $N$ mientras que el derecho se mantiene más o menos constante (o incluso disminuye si se aumenta $k$ ) por lo que podemos resolver el igualdad -condición dada $N$ y $\small{B=\lceil N \cdot (\log_2 (3) -1)\rceil }$ y algunas supuestas $k$ . Diga $k=3$ entonces en $\small {N=95.05}$ la lhs crece sobre la rhs.

Así que para $N \gt 95$ no hay solución.
Los casos $N \le 95$ se puede hacer uno por uno encontrando que no existe ninguna otra solución para $N>2$

Ahora comprueba si hay otros impar $k>3$ .

Así que has terminado.

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Observación: Creo que esto es más fácil que la exposición de Simon porque no necesito referirme a la teoría de fracciones continuas aquí.

[Si,07] John L Simons: Sobre la (no) existencia de m-ciclos para secuencias de Siracusa generalizadas
$\qquad \qquad$ (2007) (actualización en línea de un artículo anterior)
[Rh,87] G. Rhine: Aproximantes de Padé y medidas de irracionalidad.
$\qquad \qquad$ Progress in Mathematics 71, (1987), pp. 155-164
$\qquad \qquad$ (Referencia proporcionada por [Si,07])