¿El módulo de un operador lineal cambia continuamente con el operador?

Question

Deje $X,Y$ ser verdaderos espacios de Banach, y deje $B(X,Y)$ ser el espacio delimitado lineal de los operadores.

Dado $T \in B(X,Y)$ el módulo de $T$ se define como

$$ \gamma(T):=\inf \{ \,\|Tx\| \, \, | \, \, d(x,\ker T)=1 \}. $$ Se sabe que si la imagen de $T$ es cerrado en $Y$,$\gamma(T)>0$.

Supongamos que:

1. $T_n \in B(X,Y)$ es una secuencia de operadores con el cierre de las imágenes, y que $T_n \to T$ en el operador de la norma.
2. $T$ tiene un circuito cerrado de imagen.
3. $\dim \ker T_n=\dim \ker T< \infty$. (Todos los granos son finito-dimensionales y de la misma dimensión).

Es cierto que $\gamma(T_n) \ge c $ algunos $ c >0$ independiente de $n$?

Si el módulo fue un mapa continuo $B(X,Y) \to \mathbb{R}$, luego tuvimos $\gamma(T_n) \to \gamma(T)>0$. Así que la respuesta sería positiva. Sin embargo, no estoy seguro si el módulo es continua. No obstante, estoy interesado en el resultado más débil - debe el módulo de una secuencia convergente estar acotada?

Answer 1

En primer lugar, observar que en el fin de comprobar esta afirmación, basta con encontrar una larga de $(T_n)$ que $\gamma(T_n)$ se apartó de $0$. Si la declaración de que eran falsas, entonces podríamos encontrar una larga de $(T_n)$ que $\gamma(T_n)\to 0$, y, a continuación, la aplicación de nuestro argumento de partida con que larga, llegaremos a una contradicción.

Ahora vamos a probar un lexema.

Lema: Vamos a $(x_n)$ ser un almacén de secuencia en $X$ tal que $T_nx_n\to 0$. A continuación, algunas larga de $(x_n)$ converge a un elemento de $\ker T$.

Prueba: Desde $T_n\to T$ uniformemente acotada establece, $Tx_n\to 0$. Desde $\gamma(T)>0$, esto implica que $d(x_n,\ker T)\to 0$. Así, podemos optar $y_n\in\ker T$ tal que $d(x_n,y_n)\to 0$. Desde $(x_n)$ es limitada, por lo que es $(y_n)$. Desde $\ker T$ es finito-dimensional, algunos subsequence de $(y_n)$ converge a algunos $y\in \ker T$. La correspondiente subsequence de $(x_n)$, entonces también converge a $y$.

Ahora, vamos a $r=\dim \ker T$. Para cada una de las $n$, elija una base $x^1_n,\dots,x^r_n$ $\ker T_n$ que es "casi ortonormales" en el sentido de que para cada $i$, $x^i_n$ es un vector unitario y $d(x^i_n,\operatorname{span}(x^1_n,\dots,x^{i-1}_n))\geq 1/2$. Por el lema, podemos pasar a una larga y supongamos que para cada $i$, $(x^i_n)$ converge a algunos $x^i\in\ker T$. Estos $x^i$ también será casi ortonormales, y así, en particular, serán linealmente independientes y por lo tanto una base de $\ker T$.

Ahora supongamos que $\gamma(T_n)\to 0$. Esto significa que podemos elegir $y_n\in X$ tal que $d(y_n,\ker T_n)=1$ por cada $n$ pero $T_ny_n\to 0$. La modificación de $y_n$ por un elemento de a $\ker T_n$, podemos suponer que la $(y_n)$ está acotada. Por el lema, podemos pasar a una larga y asumir que $(y_n)$ converge a algunos $y\in\ker T$. Escrito $y$ como una combinación lineal de $x^1,\dots,x^r$, vemos que para las grandes $n$, $y_n$ está cerca de la correspondiente combinación lineal de $x^1_n,\dots,x^r_n$. Esto contradice la suposición de que $d(y_n,\ker T_n)=1$.

Por lo tanto $\gamma(T_n)$ no converge a $0$. Esto significa que podemos pasar a una larga y a la conclusión de que $\gamma(T_n)$ se apartó de $0$, como se desee.