Si restringimos el coseno solo cuando satisface una propiedad lineal, ¿creará elipses?

Question

En otro foro, alguien le preguntó si coseno fue lineal. He notado, por supuesto que no! Ya sabemos que

$$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$$

Si fuera lineal, necesitaríamos $$\cos(x+y) = \cos x + \cos y$$, Así que, he decidido gráfico.

Dentro de cada una de las $2\pi$ plaza, en el gráfico se ve como una elipse. Pero, yo soy más de un combinatorist, y no tengo mucha intuición para saber cómo comprobar cómo "elipse" como es.

¿Cómo sería un cheque? Hay una sustitución que podría ser utilizado?

Aquí está el enlace a la Wolframalpha parcela:

Wolframalpha Parcela

Answer 1

Así que la pregunta es acerca de la forma de $\{ (x,y)\in[0,2\pi]^2 : \cos(x+y)=\cos(x)+\cos(y) \}$.

La ecuación puede ser escrita como $2\cos^2\left(\frac{x+y}{2}\right)-1 = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $, por lo que el problema se reduce a estudiar la forma de $\cos^2(v)+\cos(u)\cos(v)=\frac{1}{2}$$u\in[0,\pi]$$v\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$. Por la serie de Maclaurin de interpolación y, locus está muy cerca de la elipse tener ecuación $$ 3v^2+u^2=\frac{7\pi^2}{16} $$ que es representado por el color púrpura de la curva de a continuación:

donde el exterior de la curva azul es parte de la legitimación $\cos^2(v)+\cos(u)\cos(v)=\frac{1}{2}$.
A su vez, la curva azul es tangente a la elipse $3v^2+u^2=\frac{4\pi^2}{9}$.

Mediante la comparación de la áreas cerradas, debemos obtener un no-trivial de la desigualdad para completar la integral elíptica.

Answer 2

El gráfico sugiere que podemos simplificar el problema mediante la rotación de los ejes de coordenadas en el sentido contrario a las agujas (o hacia la derecha, pero vamos a optar por ir en sentido anti-horario).

(De hecho, tenga en cuenta que para cada solución $(a, b)$, $(b, a)$ también es una solución. De manera que la gráfica es simétrica a lo largo de la línea de $x=y$. De rotación, por lo tanto, la solución en la nueva base simétrica a lo largo de x=0)

El avance de las transformaciones son:

$$x' = x\cos(\frac{\pi }{4}) + y\sin(\frac{\pi }{4})$$ $$y' = -x\sin(\frac{\pi }{4}) + y\cos(\frac{\pi }{4})$$

Esto transforma la ecuación, ya que le dio a: $$\cos(\sqrt{2}y') = \cos\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \left ( x'+y' \right ) \right ) + \cos\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \left ( -x'+y' \right ) \right )$$

Que se derivan de la ecuación de la elipse inmediatamente por encima de la de origen, asumiendo que existe, y muestran que contiene puntos que no están en el conjunto solución de la ecuación anterior.

En primer lugar, determinar la semi-menor de la longitud mediante la búsqueda de las dos primeras soluciones positivas de la ecuación anterior donde $x'=0$, es decir:

$$\cos(\sqrt{2}y') = 2\cos\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} y' \right )$$

Omitiendo los detalles, los dos buscado soluciones se $(x'_{1}, y_{1}')= (0, \sqrt{2} \cos^{-1}\left ( \frac{1-\sqrt{3}}{2} \right ))$$(x'_{2}, y'_{2}) = (0, \sqrt{2}\left (2\pi - \cos^{-1}\left ( \frac{1-\sqrt{3}}{2} \right ) \right ))$. La semi de menor longitud es por lo tanto $\sqrt{2}\left ( \cos^{-1}\left ( \frac{1-\sqrt{3}}{2} \right )- \pi \right ) $.

Seguimos el mismo proceso para el semi-eje mayor. Esto le da a $(x_{3}', y_{3}') = (\frac{2\sqrt{2}\pi }{3}, 0)$$(x_{4}', y_{4}') = (-\frac{2\sqrt{2}\pi }{3}, 0)$.

La ecuación de la elipse por encima del origen, en el girar el sistema de coordenadas es:

$$\left ( \frac{3x'}{2\sqrt{2}\pi } \right ) ^{2} + \left ( \frac{y'-\sqrt{2}\pi }{\sqrt{2}\left ( \cos^{-1}\left ( \frac{1-\sqrt{3}}{2} \right )- \pi \right) } \right )^{2} = 1$$

Probando diferentes valores de$x'$$y'$, uno puede comprobar que la anterior no siempre implica

$$\cos(\sqrt{2}y') = \cos\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \left ( x'+y' \right ) \right ) + \cos\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \left ( -x'+y' \right ) \right )$$

De modo que las curvas se ve en la foto no son exactamente girado elipses. Pero seguro que están cerca.