Endomorfismos sobreyectiva conserva la medida de Haar

Question

Cómo probar la siguiente declaración:

Que $G$ ser un Grupo topológico compacto y que $m$ la medida de Haar en él. Que $\varphi$ ser un endomorphisme continuado de $G$ en $G$, es decir, el mapa $\varphi$ es sobreyectiva. Entonces $\varphi$ conserva $m$.

¿Es necesario compacto, o es cierto para los grupos localmente compactos?

Answer 1

Para $G=\langle \mathbb{R},+\rangle$ deje $\varphi$ ser el surjective endomorfismo definido por $x\stackrel{\varphi}{\mapsto}\frac{1}{2}x$, luego $$m(\varphi^{-1}([0,1])=m([0,2])=m([0,1])+m([1,2])=2m([0,1])$$ desde $m$ es un aditivo medida de Haar.

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Añadido: El hecho es que una medida de Haar en un conjunto compacto es finito (como es normal), y desde $\varphi$ es surjective usted tiene que: $$m(\varphi^{-1}(G))=m(G)$$ Por lo que el empuje hacia delante de medida $\mu=m\circ\varphi^{-1}$ da $G$ la misma medida. Desde Haar medidas son únicos hasta la multiplicación por una constante, tenemos que si $\mu$ es también Haar, de $\mu=cm$ algunos $c\in\mathbb{R}$, pero desde ya sabemos que $m(G)=\mu(G)$ esto obliga a $c=1$.

Es a la izquierda para comprobar que $\mu$ es de hecho una medida de Haar, pero esto parece bastante simple: Deje $g\in G$ ser arbitraria, $g'\in G$ tal que $\varphi(g')=g$ (existencia dada por surjectivity), y deje $E\subseteq G$ ser mesurable. Entonces

$$\varphi^{-1}(gE)=\lbrace x\in G\mid \varphi(x)\in gE\rbrace=\lbrace x\mid g^{-1}\varphi(x)=\varphi(g'^{-1}x)\in E\rbrace=g'\varphi^{-1}(E)$$ y $$\mu(gE)=m(\varphi^{-1}(gE))=m(g'\varphi^{-1}(E))=m\varphi^{-1}(E)=\mu(E)$$

Queda por demostrar que $\varphi^{-1}(E)$ todavía es medible, y aquí es donde la continuidad de la asunción de patadas en el :)