Una alternativa moderna a la geometría euclidiana

Question

En primer lugar, quiero dominar la Geometría, tengo conocimientos de geometría de bachillerato y estaba pensando en aprender Geometría Euclidiana. Compré una copia de los Elementos de Euclides, es muy interesante, sin embargo, tiene un método bastante diferente en comparación con el enfoque moderno en la enseñanza de la geometría. ¿Puedo preguntar si es obligatorio en nuestras matemáticas modernas aprender los Elementos de Euclides? ¿O aprender los elementos de Euclides es sólo un ejercicio intelectual? ¿Hay algún libro de texto moderno sobre Geometría Euclidiana o Geometría Plana? No tengo ningún problema con el enfoque matemático formal mediante Axiomas y Postulados, de hecho me gusta tener una primera exposición a ellos.

En el futuro, quiero leer Principia Mathematica de Isaac Newton, ¿es necesario aprender los Elementos de Euclides para aprenderlo? ¿O la Geometría de Descartes es la base de la misma? ¿O tal vez hay un enfoque geométrico moderno para explicarlo?

Answer 1

Una forma más "moderna" de estudiar la geometría euclidiana es refundir todos los teoremas y demostrarlos con métodos de Álgebra Lineal, utilizando el espacio de coordenadas R^2 y R^3. Me interesaría que hubiera algún autor que aceptara este reto. Lo bueno del álgebra lineal es que puedes verificar los resultados fácilmente usando un ordenador. El uso del álgebra lineal tiene ventajas e inconvenientes. En el álgebra lineal las pruebas tienden a ser más compactas e implican más manipulación de tipo algebraico. En la geometría sintética las pruebas implican el uso de diagramas complicados y tienden a ser prolijas. Por otro lado, en la geometría sintética es más fácil dibujar figuras tan básicas como un segmento de línea, mientras que en R^2 o R^3 tendríamos que utilizar ecuaciones paramétricas. Es más fácil "descubrir" las relaciones geométricas cuando se pueden dibujar líneas y círculos libremente como hacemos en la geometría sintética. Aun así, demostrar estas afirmaciones tiende a ser más compacto utilizando el espacio de coordenadas o los métodos del álgebra lineal. Personalmente no soy un fanático de leer las pruebas de la geometría sintética, es por eso que estoy interesado en un enfoque diferente de la geometría euclidiana. por qué no tener lo mejor de ambos mundos, la compacidad magra de las pruebas de álgebra lineal pero descubrirlas usando las herramientas euclidianas normales de puntos, líneas, círculos, etc.