Tenemos $3$ Ases de la izquierda, y $52-k$ tarjetas a la izquierda. Vamos a hallar el número esperado de adicionales sorteos hasta que llegamos a un Ace.
Podemos cambiar la notación, y resolver un problema más general. Hay $b$ niños y $g$ niñas. Las personas son escogidas, sin sustitución, hasta que llegamos a un niño. Deje $X$ el número de empates. Queremos encontrar a $E(X)$. En nuestro problema de la tarjeta, tenemos $b=3$$g=52-k-3$.
La etiqueta de las niñas $G_1, G_2, \dots, G_g$. Para$i=1$$g$, defina la variable aleatoria $Y_i$ por
$$Y_i=1 \quad\text{if $G_i$ is drawn before a boy},\quad \text{$Y_i=0$ otherwise}.$$
Entonces
$$X=1 +(Y_1+Y_2+\cdots +Y_g),$$
desde $\sum E(Y_i)$ es la media del número de niñas antes de que el primer chico.
Vamos a ser terminado si se puede encontrar el $E(Y_i)$. Estas son todas la misma, de modo que nos encontramos con $E(Y_1)$.
Pero tenga en cuenta que
$$E(Y_1)=P(Y_1=1)=\frac{1}{b+1}.$$
Esto es debido a que en el grupo de $b+1$ de la gente que consta de $G_1$ e las $b$ varones, $G_1$ debe ser elegido en primer lugar, y de todos los órdenes posibles entre estos $b+1$ de las personas son igualmente probables. Para ver esto, es necesario pensar en las selecciones pasando hasta que todo el mundo es de los elegidos.
Así
$$E(X)=1+\frac{g}{b+1}=\frac{b+g+1}{b+1}.$$
Comentario:
No son menos agradables, pero más combinatoria de formas para resolver el problema. Podemos sin mucha dificultad de encontrar una expresión para la probabilidad de que el primer niño es elegido en el $i$-th elección, y el uso de la expresión ordinaria de la expectativa. Es un poco de un desastre, y la simplificación de que es difícil. Pero es más fácil ahora que sabemos que, desde la más simple cálculo anterior, lo que la respuesta debe ser!
