Probar o refutar que la traza de la matriz $X$ es cero

Question

Yo estaba tratando de resolver una pregunta de un examen competitivo de papel. Esta es una parte de que se trate.

Deje $I_n$ $O_n$ $n\times n$ identidad y null matrices respectivamente.Deje $S$ $2n\times 2n$ de la matriz dada en forma de bloque por $$S=\begin{bmatrix} O_n & I_n \\ -I_n & O_n\end{bmatrix}$$

Si $X$ $2n\times 2n$ matriz tal que $X^tS+SX=O_{2n}$, a continuación, determinar el tiempo de seguimiento de $X$ es cero o no.

A partir de la información dada en la pregunta sólo he conseguido encontrar ese $S^t=-S$(i.e $S$ es sesgar simétrica) y det($S$)=$1$. A continuación, $SX=-X^tS=X^tS^t=(SX)^t\Rightarrow SX$ es simétrica. También det($SX$)=det($X$).

Yo estoy en lo correcto hasta que este?y no sé si estos son necesarios o no para resolver el problema. No puedo continuar,completamente atascado.

Por favor, ayudar.Thnx por adelantado.

Answer 1

$X^\top=-SXS^{-1}$, que $\operatorname{tr}X=\operatorname{tr}X^\top = -\operatorname{tr}(SXS^{-1})=-\operatorname{tr} X$.

Answer 2

Actualmente X como una matriz de bloque con $n$ x % de bloques de $n$% #%, $X(1, 1)=A$, $X(1, 2)=B$, $X(2, 1) = C$. Entonces $X(2, 2) = D$ y el valor deseado es $-C^t = A, A^t = B, -D^t = C, B^t = D$. Sin embargo $tr X = tr A + tr D$ y $tr C = -tr A = tr B = tr D = -tr C$ y $tr C = 0$ y $tr D = 0$. Así $tr A = 0$.