Resolver la siguiente ecuación

Question

<blockquote> <p>Resolver la ecuación de $\cos^n(x) - \sin^n(x)=1,n \in \mathbb{N}-\{0\}$</p> </blockquote> <hr> <p>Si $n$ aun así es $\cos^n(x) = \sin^n(x)+1$ sólo es posible si $\sin(x)=0$ por lo tanto la solución es $x=k\pi, k \in \mathbb{Z}$.</p> <p>Estoy teniendo problemas con el extraño caso de $n$.</p> <p><strong>ACTUALIZACIÓN</strong></p> <p>$n=1$ Tenemos $\cos(x) - \sin(x)=1$ y por cuadratura obtenemos $sin(x)cos(x)=0$ que lleva a la $x=k\pi$ o $x=\pm \frac \pi 2 + k\pi$. De estas soluciones, sólo $x=2k\pi$ y $x=- \frac \pi 2 + 2k\pi$ son válidos.</p> <p>También $x=2k\pi$ y $x=- \frac \pi 2 + 2k\pi$ son soluciones para todos los impares $n$</p>

Answer 1

Basta investigar las soluciones más $[0,2\pi)$, como todas las soluciones de un número entero múltiplo de $2\pi$ lejos de una solución en $[0,2\pi)$. Deje $f(x) = \cos^n(x)-\sin^n(x)$, $n$ impar y $n\ge 3$. Entonces $$f'(x) = n(\cos^{n-1}(x)(-\sin x) - \sin^{n-1}(x)\cos(x)) = -n\sin(x)\cos(x)(\cos^{n-2}(x)+\sin^{n-2}(x))$$ Esto puede verse fácilmente que el $f'$ tiene ceros en $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, y $\frac{7\pi}{4}$,$f'<0$$(0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{3\pi}{4},\pi)\cup(\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4})$$f'>0$$(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4})\cup(\pi,\frac{3\pi}{2})\cup(\frac{7\pi}{4},2\pi)$.

Ahora $$\begin{align} f(0) &= 1 \\ f(\frac{\pi}{2}) &= -1 \\ f(\frac{3\pi}{4}) &= -2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n \\ f(\pi) &= -1 \\ f(\frac{3\pi}{2}) &= 1 \\ f(\frac{7\pi}{4}) &= 2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n \end{align}$$ A partir de esto, podemos ver que $0$ $\frac{3\pi}{2}$ son soluciones. Además, desde el $f'<0$$(0,\frac{\pi}{2})$,$f(x) < f(0) = 1$$x\in(0,\frac{\pi}{2})$. Del mismo modo, desde la $f'>0$$(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4})$,$f(x)<f(\frac{3\pi}{4}) = -2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n < 1$$x\in(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4})$. Aplicar razonamiento similar a los otros cuatro intervalos, nos encontramos con que $f(x)<1$ todos los $x\in[0,2\pi)$ con la excepción de$x=0$$x=\frac{3\pi}{2}$.

De ello se desprende que las únicas soluciones en $[0,2\pi)$$x=0$$x=\frac{3\pi}{2}$, por lo que la única solución en $\mathbb{R}$$\boxed{x = 2k\pi}$$\boxed{x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi}$$k\in\mathbb{Z}$.

Answer 2

He encontrado una prueba simple. $n \ge 3$ Impar tenemos $\cos^n(x) + (-\sin(x))^n=1 \tag1$ primero, sabemos que $\sin^2(x) + \cos^2(x)=1$

También $|\cos^n(x)|\lt \cos^2(x)$ y $|\sin^n(x)|\lt \sin^2(x)$ $x \not = k\pi$ y $x \not = \pm \frac \pi 2 + k\pi$ por lo tanto no puede sostener la igualdad (1) $x \not = k\pi$ y $x \not = \pm \frac \pi 2 + k\pi$

Es fácil concluir de aquí.

Answer 3

Sólo satisfará a 2kπ, k es un entero. Porque cuando n es impar entonces a sólo incluso múltiplos de π ecuación theq estará satisfechos.