Soluciones racionales $(a,b)$ a la ecuación $a\sqrt{2}+b\sqrt{3} = 2\sqrt{a} + 3\sqrt{b}$

Question

Encontrar todas las soluciones racionales $(a,b)$ a la ecuación

$$a\sqrt{2}+b\sqrt{3} = 2\sqrt{a} + 3\sqrt{b}.$$

Veo que tenemos las soluciones $(0,0), (2,0), (0,3), (3,2), (2,3)$ y sospecho que no hay más.

Intenté hacer lo de elevar al cuadrado los dos lados, reordenar los términos, volver a elevar al cuadrado los dos lados, pero se hizo un lío.

Editado: Además, creo recordar que todas las raíces cuadradas distintas de sin plaza números son linealmente independientes sobre los racionales. ¿Es esto cierto? Esto podría llevar a una forma más directa de demostrarlo.

Answer 1

En realidad, no es tan desordenado. Elevando al cuadrado ambos lados, aislando luego el único término que es irracional en las incógnitas y elevando al cuadrado de nuevo da

$$(2a^2+3b^2+2\sqrt6ab-4a-9b)^2=144ab$$

Desde $\sqrt6$ es irracional, esto sólo puede ser cierto si $ab=0$ o

$$2a^2+3b^2-4a-9b=0$$

Esta es la ecuación de una elipse centrada en $(a=1,b=\frac32).$

Sustituyendo esto en la igualdad anterior se obtiene $24a^2b^2=144ab,$ o (aún asumiendo $ab\neq0$ ) $ab=6.$

Esta hipérbola interseca a la elipse en sólo dos puntos: las soluciones no nulas que ya teníamos.

Answer 2

Podemos utilizar el interesante

Propuesta. Las raíces cuadradas de los naturales libres de cuadrados son $\Bbb Q$ -independiente linealmente.

Escriba $a=c^2n$ , $b=d^2m$ con $c,d\in\Bbb Q$ y $n,m$ libre de cuadrados (nótese que $a,b$ no puede ser negativo de todos modos). Entonces tenemos $$a\sqrt 2+b\sqrt 3-2c\sqrt n-3d\sqrt m=0.$$ Por la proposición, se pueden hacer las siguientes conclusiones casuísticas:

• $a=b=0$ .
• $a=0$ , $b\ne 0$ . Entonces $b\sqrt 3-3d\sqrt m=0$ implica $m=3$ y $3d=b$ Así que $b=3$
• $b=0$ , $a\ne 0$ . Entonces $a\sqrt 2-2c\sqrt n=0$ implica $n=2$ y $2c=a$ Así que $a=2$ .
• $a\ne 0,b\ne 0$ . Entonces, o bien $n=2$ , $m=3$ , $2c=a$ , $3d=b$ Esto significa $a=2$ , $b=3$ . O $n=3$ , $m=2$ , $2c=b$ , $3d=a$ Esto significa $3b^2=12c^2=4a$ y $2a^2=18d^2=9b$ Así que $72b=16a^2=9b^4$ , $b^3=8$ , $b=2$ y $a=3$ .

Answer 3

Sus cinco soluciones dadas se pueden calcular a la vista. Buscando sobre otras, se tiene $$2a^2+3b^2+2ab\sqrt 6=4a+9b+12\sqrt{ab}$$ en la que tratando de separar lo racional de lo irracional tenemos $$2a^2+3b^2=4a+9b\iff 2ab\sqrt 6=12\sqrt {ab}\iff ab=6$$ estas curvas, elipse e hipérbola respectivamente, no tienen puntos comunes racionales, por lo que estoy de acuerdo contigo en que sólo hay cinco soluciones (muy bien establecidas por Hagen Von Eitzen más arriba).