Relación de cierre para eigenkets degenerada

Question

Considere la posibilidad de un observable en la mecánica cuántica, con un degenerado autovalor en un espectro continuo.

1. Es posible que un autovalor tener un número finito de degeneración?

2. Si la degeneración es infinito, puede tener countably infinito de vectores propios? (que es, sus vectores propios estar en la lista?)

Ahora supongamos que tenemos un degenerado autovalor en un espectro discreto.

3. Es posible que un autovalor a ser infinitamente degenerados? Si es así, son los correspondientes vectores propios contables o incontables?

4. Yo también estoy interesado en cómo escribir el operador de la unidad (la integridad de la relación) en cada uno de estos casos.

Answer 1

(1) Sí, tome ${\cal H} = L^2(\mathbb R, dx)\oplus L^2(\mathbb R, dx)$ e ella $\left(X (\psi, \phi)\right)(x,y) := (x\psi(x),y\phi(y))$. Tenemos $\sigma(X)=\sigma_c(X)$ y la degeneración es sólo $2$.

(2) Sí, uso el ejemplo (1) con un countably infinitas copias de $L^2(\mathbb R, dx)$ y el uso de la Hilbertian suma directa de espacios de Hilbert. (Hay infinitamente muchos linealmente independiente de vectores propios.)

(3) Sí, en referencia a la Hilbertian suma directa, tome ${\cal H} = \oplus_{k=1}^{+\infty} {\cal H}_k$ ${\cal H}_k = L^2(\mathbb R, dx)$ y considerar la posibilidad de la auto-adjunto del operador (con dominio de la naturaleza) $H = \oplus_{k=1}^{+\infty} H_k$, donde $$H_k:= \frac{1}{2m}P_k^2+ \frac{k}{2}X^2_k$$ with $P_k$ and $X_k$ the momentum and position operator in ${\cal H}_k$ and define $\omega = 2\pi\sqrt{k/m}$. It turns out that $\sigma(H)= \sigma_p(H)= \omega(n + \frac{1}{2})$, $n=0,1,2,\ldots$ and the degeneracy is countably infinite for every $$ n .

En principio es posible construir ejemplos con $\sigma(H)=\sigma_p(H)$ y la degeneración es incontable, pero en QM el espacio de Hilbert se supone que para ser separables, por lo tanto, estos ejemplos no tienen mucho significado físico.