¿La secuencia$(f_n)$ es convergente? débilmente convergente? en$(C[0,1])'$

Question

¿La secuencia$(f_n)$ es convergente en$(C[0,1])'$? Débilmente convergente?

ps

Intento:

Primero traté de mostrar:$$f_n(x)=n \int^{1/n}_0 x(t)dt , n\in \mathbb{N}.$

Luego, traté de encontrar$f_n\rightarrow f(x):=x(0)$,$g_n,g\in BV[0,1]:f_n(x)=\int^{1/n}_0 x(t)dg_n(t)$.

A continuación, deje$f(x)=\int^{1/n}_0 x(t)dg(t)$ tal que$h\in(C[0,1])''$. Entonces, cómo mostrar$h(g)=g(0+)-g(0)$ no se cumple.

Answer 1

Preliminares. Utilizando el valor medio teorema podemos demostrar que $(f_n)$ débil-$^*$ converge a $\delta_0$. De hecho, fix $x\in C([0,1])$. Por medio del teorema del valor no existe $\xi_n\in [1,n^{-1}]$ tal que $$ \int_0^{n^{-1}} x(t)dt=x(\xi_n)(n^{-1}-0)=n^{-1}x(\xi_n). $$ Desde $\xi_n\in[0,n^{-1}]$,$\xi_n\to 0$. Así, obtenemos $$ f_n(x)=n\int_0^{n^{-1}} x(t)dt=x(\xi_n)\a x(0)=:\delta_0(x). $$ Desde $x\in C([0,1])$ es arbitrario, hemos demostrado que la $(f_n)$ débil-$^*$ converge a $\delta_0$.

La ausencia de una fuerte convergencia. Suponga $(f_n)$ fuertemente converge a algunos $\mu\in C([0,1])^*$. A continuación, $(f_n)$ débil-$^*$ converge a $\mu$. En el apartado $1)$ sabemos que la debilidad de la-$^*$ límite de$(f_n)$$\delta_0$. Por lo tanto $\mu=\delta_0$. Para cada una de las $n\in\mathbb{N}$ considera $x_n(t)=\max(1−|1−2nt|,0)$. Claramente $\Vert x_n\Vert=1$ y lo que es más $$ (f_n-\delta_0)(x_n)=n\int_0^{n^{-1}}(1−|1−2nt|)dt=n\frac{1}{2}n^{-1}\cdot 1=\frac{1}{2} $$ Por lo tanto $$ \Vert f_n-\delta_0\Vert\geq \frac{|(f_n-\delta_0)(x_n)|}{\Vert x_n\Vert}=\frac{1}{2} $$ Este ineqaulity muestra que $\Vert f_n-\delta_0\Vert\not{\to} 0$, lo $(f_n)$ no convergencia fuertemente a cualquier $\mu\in C([0,1])^*$

La ausencia de la debilidad de la convergencia. Voy a utilizar el siguiente criterio de Grothendieck

La secuencia de las medidas de $(\mu_n)\subset C([0,1])^*$ es débilmente convergente iff $\mu_n(U_n)\to 0$ por cada secuencia de pares distintos abrir conjuntos de $(U_n)$

Por Riesz-Markov teorema de cada una de las $f_n$ puede ser identificado con algunas de ellas únicas de medida $\mu_n$. De hecho, $\mu_n(A)=n\lambda([0,n^{-1}]\cap A)$ para cada conjunto de Borel $A$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue en $[0,1]$. De hecho, por cada $x\in C([0,1])$ hemos $$ \int_0^1 x(t)d\mu_n(t)=\int_0^1 x(t) nd\lambda([0,n^{-1}]\cap -)(t)=n\int_0^{n^{-1}}x(t)dt $$ Deje $(V_n)$ ser cualquier secuencia de los distintos subconjuntos abiertos de $[2^{-1},1]$. Deje $\varphi$ ser cualquier bijection entre el$\mathbb{N}\setminus\{2^k:k\in\mathbb{N}\}$$\mathbb{N}$. Definir $$ U_n:= \begin{cases} (2^{-k-1},2^{-k}) &\quad\mbox{ if }\quad n=2^k\\ V_{\varphi(n)} &\quad\mbox{ otherwise } \end{casos} $$ Claramente, $(U_n)$ es una secuencia de distintos subconjuntos abiertos de $[0,1]$. Ahora para subsequence $n_k=2^k$ hemos $$ \mu_{n_k}(U_{n_k}) =n_k\lambda([0,n_k^{-1}]\cap U_{n_k}) =2^k\lambda([0,2^{-k}]\cap (2^{k-1},2^{-k})) =2^k\lambda((2^{k-1},2^{-k})) =2^{-1} $$ Por lo tanto hemos encontrado larga de $(\mu_n(U_n))$ que no convergen a $0$. Por Grothendieck criterio $(\mu_n)$ no converge débilmente. Tampoco se $(f_n)$.