Camino de ida y vuelta desde la identidad a la matriz

Question

Deje$G$ ser un subgrupo cerrado, cerrado de$\operatorname{GL}(n,\mathbb{C})$ y deje$g \in G$. ¿Hay una función continua$f:[0,1] \to G$ tal que$f(0) = g$ y$f(1)=1$ y$f(t) \cdot g = g \cdot f(t)$ para todos$0 \leq t \leq 1$?

Creo que si$\mathbb{C}^n$ tiene una base de vectores propios de$g$, entonces tal$f$ existe, pero no estoy seguro en general.

Answer 1

Esta respuesta se trata de trabajar con algunos consejos, y ellos hacen el trabajo (gracias Yves!).

Por razones muy complicadas $f$ es bastante probable (una composición de un homeomorphism de [0,1] y) la exponencial mapa: $C_G(g)$ tiene la estructura de un colector de Riemann, y obviamente la forma más rápida para llegar desde $1$ $g$es una geodésica, las cuales están dadas por la de Riemann exponencial, que también pasa a ser la Mentira exponencial.

Esta respuesta da un ejemplo de la matriz que no está en la imagen de la exponencial mapa (muy posiblemente el mal exponencial mapa, pero yo solo espero que todo funciona) para el grupo $G=\operatorname{SL}_2(\mathbb{C})$:

$g = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.

La única de las matrices que conmutan con a $g$ son los de la forma $x(a,b) = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & a \end{bmatrix}$. Esto, $C_G(g) = \{ x(a,b) : a = \pm1, b \in \mathbb{C} \}$, no es un grupo compacto, y no es la ruta de acceso conectado.

Para $G=\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$, $f$ sería fácil: $f(t) = x( 2t-1, 1-t )$. $f$ es continua, $f(0)=x(-1,1) = g$, $f(1) = x(1,0) = 1$, y $f(t) \cdot g = g \cdot f(t)$ desde $x(a,b) \cdot g = g \cdot x(a,b)$. Sin embargo, para $G=\operatorname{SL}_2(\mathbb{C})$ tenemos $C_G(g)$ tiene dos componentes, y $g$ no radica en la identidad de los componentes.