¿Dado un número racional $x$ y $x^2 < 2$, existe una forma general para encontrar otro número racional $y$ que tal que $x^2<y^2<2$?

Question

Supongamos que tengo un número racional $a$$a^2 < 2$. Puedo encontrar otro número racional $B$ tal que $a^2<B^2<2$?

Basado en la respuesta a esta pregunta, he pensado en hacer lo siguiente:

$$ a^2 < 2 \implica un < \frac{2}{a}\\ \text{Vamos a}\hspace{1cm} B=\frac{a+\frac{2}{a}}{2}=\frac{a^2+2}{2a} $$

$B$ es mayor que $a$ porque:

$$ \begin{array} {aa} B>a & \implies \frac{a^2+2}{2a}>a \\ & \implies a^2 + 2 > 2a^2 \\ & \implies 2 > a^2 \\ & \implies a^2 < 2 \end{array}$$

Si $B^2$ es de menos de $2$,$B^2-2<0$, pero:

$$\begin{array} {aa} B^2-2 < 0 & \implies \left( \frac{a^2+2}{2a} \right)^2 - 2 < 0 \\ & \implies \frac{a^4+4a^2+4}{4a} - \frac{8a^2}{4a^2} < 0 \\ & \implies \frac{(a^2-2)^2}{(2a)^2} < 0 \end{array}$$

Lo cual es una contradicción ya que el lado izquierdo de la desigualdad será positiva para todos los valores de $a$.

Pero creo que debemos ser capaces de encontrar un $B$ ya que basado en mi entendimiento de esta respuesta, se puede encontrar otro número racional, cuya distancia de la $a$ es menor que la distancia entre el $a$ $\sqrt{2}$

Por lo tanto, tengo 2 preguntas:

1. ¿Por qué este enfoque de trabajo en el caso de $a^2>2$, pero no al $a^2<2$?

2. ¿Cómo debo enfoque de este tipo de preguntas, ya que parece que hay un par de maneras de construir una $B$ que satisface un conjunto dado de restricciones? Por ejemplo, ver aquí (la prueba es inmediatamente antes de la sección "13. El Axioma De Completitud".

Answer 1

Supongamos que $a$ es un positivo número racional tal que $a^2\lt 2$. Que $$b=\frac{3a+4}{2a+3}.$ $ primero mostramos que $b\gt a$. Tenemos % $ $$b-a=\frac{3a+4}{2a+3}-a=\frac{2(2-a^2)}{2a+3}\gt 0.$ahora mostramos que $b^2\lt 2$. Tenemos %#% $ #%

Comentario: La opción de $$2-b^2=2-\left(\frac{3a+4}{2a+3}\right)^2=\frac{2-a^2}{(2a+3)^2}\gt 0.$ puede parecer algo mágica, pero no es. Se trata de la teoría de la % de la ecuación de Pell $b$o, como alternativa de la expansión de la fracción continua de $x^2-2y^2=1$.

Answer 2

El problema con tomar la aritmética de $a$ y $\dfrac 2 a$ es, como se observa, que da un valor $> \sqrt 2$. Trate de tomar la media armónica en su lugar. Por cierto, algunos de sus cadenas para la lógica se invierten: tienes flechas derecha donde necesitas las flechas de la izquierda.

Answer 3

También recordé que esto fue explicado en bebé Rudin:

Asociado a cada racional $p>0$, el número:

$p':=\frac{2p+2}{p+2}$

entonces, si p se encuentra en $S_A$: = {$x:x^2

Del mismo modo, si p está en $S_B$:={$x:x^2>2$}, tenemos, desde $p^2>2$, p'is en $S_B$

Answer 4

La sustitución $$a \leftarrow \frac{a^2+2}{2a} $$ is exactly what you get from Newton's method for the function $f(a)=a^2-2$. This will result in iterations that are greater than $\sqrt{2}$ since $f$ is an increasing convex function on $(0, \infty)$. I will sketch two alternatives, both based on Newton's method, to get iterations less than $\sqrt{2}$.

La primera idea. El uso de alguna otra función que la de $f(a) = a^2-2$ con el método de Newton. Por ejemplo, si $0 \leq p < \sqrt{2}$

$$ \frac{1}{\sqrt{2}+p} = \frac{\sqrt{2}-p}{2-p^2} $$

y por lo $\sqrt{2}$ es una raíz de la función $$f(a) = \frac{2-p^2}{a+p}-a+p = \frac{2-a^2}{a+p}.$$

Esta función es convexa y la disminución en el $(0, \infty)$. Aplicando el método de Newton para esta función de los resultados de la iteración

$$ un \leftarrow \frac{p^2+4+2 p}{a^2+2 p+2} $$

lo que produce un aumento de la secuencia en la que converge a $\sqrt{2}$ desde abajo según se requiera. Por ejemplo, para $p=0$ consigue

$$ un \leftarrow \frac{4}{a^2 + 2} $$

que es exactamente la media armónica de $a$ $\frac{2}{a}$ como se sugiere por el haruspex. Para $p=1$ $p=\frac{7}{5}$ consigue

$$ un \leftarrow \frac{a^2+4a+2}{a^2+2a+2} \textrm{ y } \leftarrow \frac{7^2+20 a+14}{5 a^2+14 a+10} $$

respectivamente, para dar sólo dos ejemplos. Sustituyendo $a=\frac{7}{5}$ en los últimos resultados en $\frac{1393}{985}$, que es menos de $4\times 10^{-7}$ bajo $\sqrt{2}$.

Segunda idea. Para esta idea voy a suponer que $a\geq 1$. Como ya hemos $$a < \sqrt{2} < \frac{a^2+2}{2a}.$$

Por lo tanto podríamos intentar tomar el promedio ponderado de los $a$ $\frac{a^2+2}{2a}$ que termina debajo de $\sqrt{2}$. Por lo tanto, estamos buscando algún factor de $\lambda \in (0,1)$ tal que

$$ \lambda + (1-\lambda)\frac{a^2+2}{2a} < \sqrt{2} $$

para todos los $a \in [1, \sqrt{2})$. No es difícil mostrar que este es el caso exactamente si $\lambda \in (3 - 2\sqrt{2}, 1)$. Podemos tomar $\lambda = \frac{1}{5}$ o $\lambda = \frac{5}{29}$ por ejemplo, para obtener las iteraciones

$$ un \leftarrow \frac{3^2+4}{5 bis} \textrm{ y } \leftarrow \frac{17 a^2 + 24}{29a} $$

respectivamente.

Answer 5

Aquí $x