Yo he estado revisando varios problemas con homeomorphisms interesantes, y me encontré con éste.
¿Es el producto del espacio de irrationals y el espacio de racionales homeomorfa al espacio de irrationals?
No he podido avanzar en este caso. ¿Puede alguien ayudarme? ¡Gracias!
Deje $\Bbb P$ ser el espacio de irrationals; es topológicamente completo, es decir, tiene una compatibilidad completa de métricas. Supongamos que $\Bbb P\times\Bbb Q$ fueron homeomórficos a $\Bbb P$; entonces sería topológicamente completa, por lo que cada uno de sus subespacios cerrados también sería topológicamente completa. Pero $\Bbb P\times\Bbb Q$ sin duda ha cerrado subespacios homeomórficos a $\Bbb Q$, que no es topológicamente completa, por lo $\Bbb P\times\Bbb Q\not\cong\Bbb P$.
Añadido: En este trabajo de Jan van Molino demostrado que $\Bbb P\times\Bbb Q$ es el único espacio (hasta homeomorphism) que puede ser escrito como un aumento de la unión a $\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n$ de los conjuntos cerrados de forma tal que por cada $n\in\Bbb N$, $F_n$ es una copia de $\Bbb P$ que es denso en ninguna parte en $F_{n+1}$. (Para escribir $\Bbb P\times\Bbb Q$ de esta forma, enumerar $\Bbb Q=\{q_n:n\in\Bbb N\}$, y deje $F_n=\Bbb P\times\{q_k:k\le n\}$.) Es un buen poco de ejercicio en la categoría de Baire teorema para demostrar que $\Bbb P$ no puede ser escrito de esta forma.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
