Procesos de Poisson independientes: carrera 5

Question

Tengo este problema a resolver:

Hockey los equipos 1 y 2 puntuación objetivos en tiempos de proceso de Poisson con tasa de 1 y 2. Supongamos que $N_1(0)=3$ y $N_2(0)=1$. ¿Cuál es la probabilidad que $N_1(t)$ llegará a 5 $N_2(t)$ antes?

Yo he modificado esto: ¿Cuál es la probabilidad que en los próximo 5 goles por lo menos 2 de ellos son de equipo 1?

El único problema que tengo es averiguar la probabilidad de equipo uno un gol. ¿Podemos utilizar las tarifas para esto?

Answer 1

Usted debe asumir que los dos procesos de Poisson son independientes. Gol (sin tener en cuenta que cuentas de equipo) es entonces un % del proceso de Poisson $N(t) = N_1(t) + N_2(t)$con tasa $1+2=3$, y cada meta individual que se anotó tiene probabilidad $1/3$ de venir del equipo 1.

Answer 2

Para encontrar la probabilidad de que el equipo 1 de marcar un gol antes de que el equipo 2, se puede considerar que los correspondientes tiempos de espera, que son exponencialmente distribuida con los medios de $1$$1/2$, respectivamente (y recordar algunos ejercicio anterior). O, más simplemente, considere la posibilidad de $\frac{{\lambda _1 }}{{\lambda _1 + \lambda _2 }}$ (e $\frac{{\lambda _2 }}{{\lambda _1 + \lambda _2 }}$). También vale la pena considerar aquí el Adelgazamiento y la Superposición de procesos de Poisson.

Para encontrar la probabilidad de que el equipo 1 de marcar un gol antes de que el equipo 2, se puede considerar que los correspondientes tiempos de espera, que son exponencialmente distribuida con los medios de $1$$1/2$, respectivamente (y recordar algunos ejercicio anterior).

EDIT: Algunos detalles.

Vamos $X_i$, $i=1,2$, ser independiente exponencial de las variables aleatorias con funciones de densidad de probabilidad $\lambda_i e^{-\lambda_i x}$, $x > 0$. Es un ejercicio fácil para demostrar que ${\rm P}(X_1 < X_2) = \lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)$. Ya para $\lambda_1=1$ $\lambda_2=2$ esta probabilidad es igual a $1/3$, debe quedar claro que la probabilidad que se busca es $1/3$ (considerar entre los tiempos de llegada entre los objetivos). Si, por otro lado, considerar el proceso de $N=N_1 + N_2$, entonces la probabilidad de a $\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)$ puede ser explicada de la siguiente manera. Primera nota de que $$ {\rm P}(N_1 (t + \Delta t) - N_1 (t) \ge 1|N(t + \Delta t) - N(t) \ge 1) = \frac{{{\rm P}(N_1 (t + \Delta t) - N_1 (t) \ge 1)}}{{{\rm P}(N(t + \Delta t) - N(t) \ge 1)}}. $$ Para las pequeñas $\Delta t$ esto da $$ {\rm P}(N_1 (t + \Delta t) - N_1 (t) \ge 1|N(t + \Delta t) - N(t) \ge 1) \approx \frac{{{\rm P}(N_1 (t + \Delta t) - N_1 (t) = 1)}}{{{\rm P}(N(t + \Delta t) - N(t) = 1)}} , $$ y por lo tanto $$ {\rm P}(N_1 (t + \Delta t) - N_1 (t) \ge 1|N(t + \Delta t) - N(t) \ge 1) \approx \frac{{e^{ - \lambda _1 \Delta t} \lambda _1 \Delta t}}{{e^{ - (\lambda _1 + \lambda _2 )\Delta t} (\lambda _1 + \lambda _2 )\Delta t}}. $$ Finalmente, dejando $\Delta t \to 0$ representa la probabilidad de $\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)$ que usted estaba buscando.

Answer 3

Sí, cada gol marcado ha probabilidad de 1/3 de que son anotadas por el equipo 1 y la probabilidad de 2/3 de gol por equipo de 2, y por la magia de los procesos de Poisson, cada meta es de color de forma independiente de los demás.

Por lo tanto se busca la probabilidad de que una caminata aleatoria a partir de (3,1) y con el paso (+1,0) con probabilidad 1/3 y (0,+1) con una probabilidad de 2/3 para llegar a la línea (5,algo) antes de llegar a la línea de (algo,5).

Escrito u(x,y) para esta probabilidad a partir de (x,y), se busca u(3,1) y usted sabe que u(5,algo)=1, u(algo,0)=0 y 3u(x,y)=u(x+1,y)+2u(x,y+1). Esto muestra que u(3,1) es parte de la única solución de un sistema lineal de ecuaciones cuyas incógnitas son los u(x,y) para (x,y) cualquiera de los puntos (3,1), (4,1), (3,2), (4,2), (3,3), (4,3), (3,4), (4,4).

Partida hacia atrás, se obtiene u(4,4)=1/3, u(3,4)=u(4,4)/3=1/9, u(4,3)=1/3+2u(4,4)/3=5/9, u(3,3)=u(4,3)/3+2u(3,4)/3=7/27, u(4,2)=1/3+2u(4,3)/3=19/27, u(3,2)=u(4,2)/3+2u(3,3)/3=11/27, u(4,1)=1/3+2u(4,2)/3=65/81, y, finalmente, u(3,1)=u(4,1)/3+2u(3,2)/3=131/243.

Editar Una solución alternativa es, como se sugiere por el OP, a considerar los cinco primeros objetivos y a tomar nota de que el equipo 1 pierde el juego si y sólo si el equipo 1 puntuaciones de uno o cero de estos cinco objetivos. El número de goles marcados por el equipo 1, entre los cinco primeros objetivos es binomial (5,1/3), por lo tanto la probabilidad de que el equipo 1 gana es 1-P(Bin(5,1/3)=0)-P(Bin(5,1/3)=1). Este es 1-(2/3)^5-5(2/3)^4(1/3)=1-32/243-80/243=131/243.