Norma de la uno mismo-adjoint miembro de $C^*$-álgebra

Question

Esta pregunta surgió a partir de la prueba de la proposición $1.11(e)$ en el capítulo $8$ de Juan B. Conway es Un Curso en el Análisis Funcional. Esta parte de la proposición puede ser declaró:

Deje $\mathscr{A}$ $C^*$- álgebra, y deje $a\in\mathscr{A}$ ser dado. Si $a=a^*$,$\|a\|=r(a)$.

(Aquí, $r(a)$ denota el radio espectral de $a$.)

La prueba, como se indica en el libro, procede de la siguiente manera:

Desde $a^*=a$, $\|a^2\|=\|a^*a\|=\|a\|^2$; por inducción, $\|a^{2n}\|=\|a\|^{2n}$$n\geq1$, $\|a^{2n}\|^{1/2n}=\|a\|$$n\geq1$. Por lo tanto $r(a)=\lim\|a^{2n}\|^{1/2n}=\|a\|$.

Ahora yo era capaz de demostrar por inducción que $$ \|a^{2^n}\|=\|a\|^{2^n} \qquad (n\geq1),$$ a partir de la cual el resultado de la siguiente manera, pero yo no podía probar como se afirma en el libro.

Así que mi pregunta es: ¿Cómo podemos demostrar (presumiblemente por inducción) que $\|a^{2n}\|^{1/2n}=\|a\|$$n\geq1$? Es simplemente un error en el libro, o se puede hacer?

Answer 1

Esto fue corregido en una posterior edición...

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Answer 2

Definitivamente es un error. La prueba de $|a^{2n}|=|a|^{2n}$ no puede ser trivial, ya que por ejemplo implica que $|a^3|=|a|^3$ (que creo que puede obtenerse fácilmente de los axiomas): $ |a^3|^2=|a^{2\times3}|=|a|^{2\times3}= (|a|^3) ^ 2. $$ Así que, incluso si uno puede encontrar un argumento para la fórmula de $2n$, no vale la pena para prueba de Conway, como cualquier subsequence es suficiente.