Permitir que$k>0$ sea un número entero, ¿existen polinomios con coeficientes racionales tales que a) para cada entrada de entero positivo no sea igual a$k$ generemos un número entero, yb) para la entrada$k$ no da salida a un número entero? Supongo que esto es imposible, ¿alguien podría empujarme en la dirección correcta?
Respuestas
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Si un polinomio de grado $n$ toma valores enteros en $n+1$ enteros consecutivos argumento, entonces toma valores enteros en todos los argumentos enteros. Esto viene de la fórmula $$\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k \binom{n+1}k f(x+k)=0\tag1$$ válido para polinomios de grado $\le n$. (E $(1)$ viene de la "cálculo de diferencias finitas".)
AÑADIDO EN LA EDICIÓN DE
Para la diversión, aquí es una alternativa "matemáticas hizo difícil" argumento de la pregunta original. Deje $f$ ser un polinomio con racional de los coeficientes de tomar valores enteros en $\Bbb Z-\{k\}$. Deje $p$ ser primer. A continuación, $f$ es mapa continuo de $\Bbb Z_p$ ($p$- ádico enteros) a $\Bbb Q_p$ ($p$- ádico números). A continuación,$f(\Bbb Z-\{k\})\subseteq \Bbb Z_p$. El cierre de $\Bbb Z-\{k\}$ $\Bbb Q_p$ $\Bbb Z_p$ $\Bbb Z_p$ es cerrado en $\Bbb Q_p$. Por la continuidad, $f(\Bbb Z_p)\subseteq\Bbb Z_p$. En particular,$f(k)\in\Bbb Z_p$. Como $f(k)\in\Bbb Q$ $f(k)\in \Bbb Z_p$ todos los $p$$f(k)\in\Bbb Z$.
Kamil Maciorowski
Puntos
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El siguiente, probablemente puede ser conectado con el "cálculo de las diferencias finitas," que se menciona en otra respuesta.
Supongamos que un polinomio $f_0(x)$ existe, su grado es $n$. Las condiciones en cuestión son más fuertes, pero sólo esta propiedad más débil es relevante para nosotros:
$$\exists_{k \in \Bbb Z} ((f_0(k) \noen \Bbb Z) \de la tierra \forall_{m \in \Bbb N_+} (f_0(k+m) \in \Bbb Z))$$
Ahora vamos a definir los $$f_1(x) \equiv f_0(x+1)-f_0(x)$$
Taylor teorema nos permite expandir como este:
$$f_0(x+1) \equiv f_0(x)+ \frac {f_0'(x)}{1!}1+ \frac {f_0''(x)}{2!}1^2 + …$$
y debido a que $f_0$ es un polinomio, el número de sumandos es finito. Ahora tenemos:
$$f_1(x) \equiv f_0'(x)+ \frac {f_0''(x)}2 + …$$
Analizar los grados de particular sumandos y verás que el grado de $f_1(x)$$(n-1)$.
Después tome la propiedad relevante de $f_0$, y pensar en lo que dice acerca de $f_1$ (tratada como una diferencia entre los números). Mientras que el cálculo de $f_1(k)$ restamos no enteros, enteros, se obtiene un no-entero; para obtener $f_1(k+m)$ lo que resta de enteros enteros, se obtiene un número entero. La conclusión es: $f_1$ tiene la misma propiedad como $f_0$.
A partir de un polinomio de grado $n$ hemos encontrado un polinomio de grado $(n-1)$ que tiene la misma propiedad relevante. Se puede iterar el procedimiento de abajo para un polinomio de grado $0$ (es decir, un número, una función constante) que tiene la misma propiedad.
Pero obviamente no hay ninguna función constante puede producir un no-entero para un argumento y un entero por otro argumento. Nuestra suposición no puede ser verdad.
