Si usted escoge un vector aleatorio en $\mathbb{R}^n$ con algunos fija de base, no hay ninguna relación especial entre los componentes. La relación entre el $1^{st}$ componente y el $5^{th}$ componente es la misma que la relación entre el $82^{nd}$ componente y el $1001^{th}$ componente.
Por otro lado, si el espacio de $\mathbb{R}^n$ es visto como una discretización de una función de espacio (por ejemplo, n nodal de valores para un modelo lineal por tramos base de sombrero de funciones), entonces no es una relación especial entre los componentes basados en la cercanía en el dominio subyacente. Si 2 nodos que están próximos en el espacio físico, entonces los vectores de la base correspondiente a los nodos que están más relacionados con la función de espacio.
Así que, de alguna manera, $\mathbb{R}^n$ como una función del espacio tiene más estructura y es diferente de la $\mathbb{R}^n$ genéricamente. ¿Qué es esta diferencia y cómo puede ser hecho preciso?
Mis pensamientos son como sigue: esto parece similar a las ideas de la función de espacio de la regularidad (los más regulares en el espacio, más cerca de los puntos están "relacionados"). Sin embargo, yo no creo que esta sea la de toda la imagen, ya que uno se puede imaginar la definición de una estructura adicional en la función de espacio sobre los nodos de un n-gráfico de nodos $\{f:G\rightarrow\mathbb{R}\}$, donde no existe la noción de continuidad, la diferenciabilidad, etc.
