Si $(W,<)$ es un conjunto bien ordenado y $f : W \rightarrow W$ es una función creciente, entonces $f(x) ≥ x$ para cada $x \in W$

Question

Yo podría usar a un lado la comprensión de una prueba de Jech de la Teoría de conjuntos.

En primer lugar, tenga en cuenta que Jech define que un aumento de la función $f : P \rightarrow Q$ es una función que preserva estricto de las desigualdades (donde $P$ $Q$ están parcialmente de conjuntos ordenados). Entonces tenemos

Lema 2.4. Si $(W,<)$ es un conjunto ordenado y $f : W \rightarrow W$ es un aumento de la la función, a continuación, $f(x) ≥ x$ por cada $x \in W$.

Estoy teniendo dificultad para la comprensión de la prueba. Va como así.

Prueba. Suponga que el conjunto de $X = \{x \in W : f(x) < x\}$ es no vacío y deje $z$ ser el menor elemento de a $X$. Si $w = f(z)$,$f(w) < w$, una contradicción.

Pongo la primera frase - vamos a hacer una prueba por contradicción, que es la razón por la $X$ es no vacío, y desde $W$ es bien ordenado, podemos concluir que $X$ tiene un mínimo elemento, y la denominamos $z$.

Lo que está pasando en la segunda frase?

Answer 1

En la prueba recogemos $z$ menos, entonces nos pusimos $w = f(z)$, pero sabemos que a partir de la definición del conjunto que $f(z) < z$, lo $w < z$. Sin embargo, $f$ es (estrictamente) creciente en función, que es $w < z$ implica $f(w) < f(z) = w$. Esto a su vez implica que el $w$ debe ser una parte de $X$, pero $w < z$ y contradice que hemos elegido al menos un elemento (que podríamos debido a $W$ es bien ordenado).

Alternativa (y creo que un poco más intuitivo) ver en esta prueba de ello es que una existencia de elemento $z$ tal que $$f(z) < z$$ implica que $$z > f(z) > f(f(z)) > f^{(3)}(z) > f^{(4)} > \ldots$$ es un infinito estrictamente disminución de la secuencia, lo cual es una contradicción por el hecho de que $W$ está bien fundada.

Espero que esta ayuda ;-)