¿Cuál es el valor de los siguientes límites? $$\large \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{\frac{n}{n-1}^{\frac{n-1}{n-2}^{...}}}$ $ , En general, ¿qué límites de infinito, la disminución de los números agrupados en formas familiares enfoque?
Respuestas
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La secuencia está dada por:
$$a_1 = 2, a_n = \left(\frac{n+1}n\right)^{a_{n-1}}$$
Toma de registros, obtenemos:
$$\log a_n = a_{n-1} \log\left(1+\frac1n\right)$$
y es fácil mostrar que $\dfrac1{2n} \le \log\left(1+\frac1n\right) \le \dfrac1n$.
Ahora si podemos demostrar que $a_n$ es acotado, se realiza por el teorema del sándwich (desde entonces $\lim\limits_{n\to\infty} \log a_n = 0$, por lo tanto $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 1$).
Obviamente, $a_n \ge 0$ todos los $n$. Podemos probar inductivamente que $a_n \le e$. La base es trivial: $a_1 = 2 \le e$. Supongamos $a_{n-1} \le e$. Por el cálculo anterior, $\log a_n \le \dfrac en \le 1$$n \ge 3$. Queda por demostrar que $a_2 \le e$:
$$a_2 = \left(\dfrac32\right)^2 = \dfrac94 \le e$$
En conclusión:
$$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} {\large\frac{n+1}{n}^{\frac{n}{n-1}^{\frac{n-1}{n-2}^{...}}}} = 1$$
Greg Case
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Para $n\ge 1$, vamos $$a_n=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\frac{n}{n-1}^{\frac{n-1}{n-2}^{...}}}$$ where the tower stops when we reach $2/1=2$, so $a_1=2$ and $$a_{n+1}=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{a_n}.$$
Tenga en cuenta que cada una de las $a_n$ es (estrictamente) de más de $1$, y que la secuencia es la disminución de $n=2$ sobre: en Primer lugar, $a_2=9/4>2>1.911>a_3$. A continuación, si $a_{n+1}<a_n$, $$a_{n+2}=\left(\frac{n+3}{n+2}\right)^{a_{n+1}}<\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{a_{n+1}}<\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{a_n}=a_{n+1}. $$ Puesto que la sucesión es decreciente y acotada abajo por $1$, se deduce que el $\lim_n a_n=a$ existe y satisface $a\ge 1$.
Sigue a argumentar que $a=1$. Para ver esto, observe que $a_{n+1}=b_n^{a_n}$ donde $\displaystyle b_n=\frac{n+2}{n+1}$, lo $a=\lim_n a_{n+1}=(\lim_n b_n)^{\lim_n a_n}=1^a=1$.
