Supongamos que conocemos todas las implicaciones apropiadas de un determinado enunciado desconocido $p$ , es decir, todas las proposiciones $q$ tal que $p\Rightarrow q$ pero no $q \Rightarrow p$ .
¿Es esa información suficiente para recuperar $p$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Bram28
Puntos
18
Para cualquier declaración $q$ que no es equivalente a $p$ Hay las siguientes opciones:
$q$ está estrictamente implicado por $p$ . Entonces $q$ está en el conjunto dado.
$q$ no está estrictamente implicado por $p$ . Entonces $q$ no está en el conjunto dado, pero $q \lor p$ es.
Por lo tanto, si $\Gamma$ es el conjunto dado de declaraciones implícitas, y si $L$ es el conjunto de todas las declaraciones posibles, entonces el siguiente conjunto:
$S = \{ x \in L | x \not \in \Gamma \land \neg \exists y \in L: x \lor y \in \Gamma) \}$
será el conjunto de todas las declaraciones equivalentes a $p$ .
En lenguaje sencillo: dado el conjunto de declaraciones implícitas $\Gamma$ y tratando de encontrar el enunciado implícito $p$ (o su equivalente) recorriendo el conjunto de todas las declaraciones posibles $L$ : desechar cualquier afirmación $q$ que está en $\Gamma$ o para el que existe una declaración estrictamente implícita por $q$ que está en $\Gamma$ . Lo que queda será cualquier declaración equivalente a $p$ .
Sin embargo, no tengo ni idea de cómo encontrar esa afirmación en la práctica, ya que hay infinitas afirmaciones implícitas en cualquier afirmación, y haber trabajado con cualquier cantidad finita de ellas siempre deja múltiples opciones no equivalentes en cuanto a lo que $p$ podría ser: Digamos que los enunciados finitos que has trabajado son $\phi_1, ... , \phi_n$ . Entonces $p$ puede ser cualquier declaración de la forma $\phi_1 \land ... \land \phi_n \land \phi_{n+1}$ para cualquier $\phi_{n+1}$ que no está implícito en $\phi_1 \land ... \land \phi_n$ (de los cuales hay infinitos)
