Pregunta sobre la convergencia de integral incorrecta

Question

¿Podría darme alguna pista sobre cómo resolver este problema?

Supongamos que$f$ es continuo en$(0,1]$ y hay$M$, como$\left|\int_x^1f(t)\, dt \right|\le M$.

Demuestre que$\int_0^1f(x)\, dx$ converge o proporciona un contraejemplo.

Me parece que$F(x)=\int_\epsilon^1f(x)dx$ su función continua y diferenciable para cada$\epsilon>0$, por lo que la pregunta es si$\lim_{\epsilon \to 0}F(x)$ existe. ¿Estoy en lo cierto? ¿Cómo debo proceder?

Gracias.

Answer 1

Siguiendo la pista de Siminore

Su$F$ está limitado. ¿Te imaginas una función limitada que no tiene límite? Entonces debería preguntarse si este ejemplo puede ser producido por integración, como su$F$.

definimos$f$ de modo que para cada$x\in (0,1)$,$$\tag{*} \int_x^1 f(t)\mathrm dt=\sin\left(\frac 1x\right).$ $ Dado que$x\mapsto \sin(1/x)$ está limitado y no tiene límite, ya que$x$ va a$0$, permanece para comprobar que$f$ es continuo en$(0,1)$, lo que se puede hacer tomando la derivada en ambos lados de (*).