Si satisface a $a,b,c > 0$ $a^2+b^2+c^2=3$ y $\frac{a}{b+c+3}+\frac{b}{a+c+3}+\frac{c}{a+b+3} \geq \frac{3}{5}$

Question

<blockquote> <p>Dadas $a,b,c > 0$ satisface la condición $$a^2+b^2+c^2=3,$ $ demostrar que $$\frac{a}{b+c+3}+\frac{b}{a+c+3}+\frac{c}{a+b+3} \geq \frac{3}{5}.$ $</p> </blockquote> <p>Gracias a todos</p>

Answer 1

La desigualdad no es VERDADERA. Por ejemplo. $a=\sqrt{2}$, b = 1, c = 0, luego

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{3+\sqrt{2}} + 0 = 0.3536 + 0.2265 < 0.6$

Answer 2

Esto se puede hacer automágicamente usando multiplicadores de Lagrange (como la mayoría de las desigualdades de este tipo ...)

Tome$f=\frac{a}{b+c+3}+\frac{c}{a+b+3}+\frac{b}{a+c+3}$,$g=a^2+b^2+c^2$, y encuentre los puntos críticos de$f$ sujetos a la condición de que$g=3$. En Mathematica, esto se puede hacer de la siguiente manera:

 In[15]:= f = a/(b + c + 3) + b/(a + c + 3) + c/(a + b + 3);

In[16]:= g = a^2 + b^2 + c^2;

In[17]:= Solve[Flatten[{g == 3, 
   Table[D[f + q g, v] == 0, {v, {a, b, c}}]}], 
   {a, b, c, q}, Reals]

Out[17]= {{a -> -1, b -> -1, c -> -1, q -> 3/2}, {a -> 1, b -> 1, c -> 1, q -> -(3/50)}}
 

Esto muestra que hay un punto crítico (con coordenadas positivas) en$(a,b,c)=(1,1,1)$.

Lo único que nos queda es comprobar que en este punto tenemos un mínimo (o un máximo ...: P)