Dejemos que $\Omega$ sea un dominio suficientemente agradable en $\mathbb{R}^n$ .
Si $ 1 \leq p < n $ y $ p^* = \frac{np}{n-p} $ entonces existe una constante $C_1$ tal que para todo $ u \in W^{1,p}(\Omega) $ tenemos $$ (I)~~||u||_{L^{p^*}(\Omega)} \leq C_1||u||_{W^{1,p}(\Omega)}. $$ Si $ p > n $ entonces existe una constante $C_2$ tal que para todo $ u \in W^{1,p}(\Omega) $ tenemos $$ (II)~~||u||_{L^{\infty}(\Omega)} \leq C_2||u||_{W^{1,p}(\Omega)}. $$
En general, las constantes $C_i$ dependen del dominio $\Omega$ . ¿Puede alguien indicarme algunas referencias que discutan la dependencia entre las constantes de incrustación y el dominio?
Estoy interesado en las condiciones bajo las cuales, dada alguna familia de dominios $ \Omega_\alpha $ puedo obtener desigualdades de incrustación de Sobolev como las anteriores con una constante que no depende de $\alpha$ . Para ser más específico, estoy interesado en el caso $ n = 2 $ y cuando los dominios son familias de bolas o anillos.
Por ejemplo, si considero la desigualdad (II) y una familia de bolas, entonces una condición suficiente obvia es tener un límite superior y otro inferior en los radios de las bolas. No se puede prescindir de un límite inferior (consideremos la función $u \equiv 1$ ) pero puede prescindir de un límite superior utilizando un argumento de traslación. ¿Qué pasa con la desigualdad (I)? ¿Qué puedo utilizar para responder a estas preguntas?
Dado que una forma de demostrar las desigualdades anteriores es utilizar un operador de extensión, y luego "robar" la desigualdad de $\mathbb{R}^n$ esta cuestión está relacionada con la dependencia de la norma mínima de un operador de extensión $W^{1,p}(\Omega) \rightarrow W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ en el dominio
