Integración sin usar integración por partes

Question

Hubo un post pidiendo ayuda en la definición de $\int x^{2} e^{x} \, \mathit{dx}$ usando Integración por Partes. (Vea la pregunta 2123271.) Un comentario fue que la integral puede ser definido sin usando Integración por Partes. "Si $f(t) = \int e^{tx} \, \mathit{dx}$, $f^{\prime\prime}(1) = \int x^{2} e^{x} \, \mathit{dx}$."

¿Cuál es la definición de $f^{\prime}(t)$$f^{\prime\prime}(t)$?

El comentario en el post indica que el valor de $f^{\prime\prime}(t)$ $1$ ayuda a mostrar que \begin{equation*} \int x^{2} e^{x} \, \mathit{dx} = (x^{2} - 2x + 2)e^{x} . \end{ecuación*} Por favor explique.

Answer 1

El truco es que sabemos cómo calcular esta integral exactamente:

$$ \int e^{tx}dx $$ The result is a function of $t$ (incluyendo la constante de integración)

$$ \int e^{tx} dx = \frac{1}{t}e^{tx} + C_1(t) $$ Así, esto significa que (suponiendo que todo lo que es matemáticamente "kosher", que aquí es),

$$ \frac{d}{dt}\int e^{tx}dx = \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{t}e^{tx} + C\right) = -\frac{1}{t^2}e^{tx} + \frac{x}{t}e^{tx} + C_2(t) $$ Pero, por otro lado, (de nuevo, suponiendo que podemos "tirar de la derivada en el interior de la integral", el cual podemos aquí):

$$ \frac{d}{dt}\int e^{tx}dx = \int\frac{\partial}{\partial t}e^{tx} dx = \int xe^{tx}dx $$ Así hemos llegado a la hermosa fórmula

$$ \int xe^{tx} dx = \left(\frac{x}{t} - \frac{1}{t^2}\right)e^{tx} + C_2(t) $$ You can evaluate this at any value of $t$; $t=1$ will give $\int xe^xdx$. If you do this trick again (take a second derivative with respect to $t$) and evaluate the result at $t=1$, you can arrive at the formula for $\int x^2e^{x}dx$. Note that the "constant of integration" $C_1(t)$ can be chosen to be any function of $t$, so after evaluating at some $t$ value, we still have an "arbitrary constant" - if you were trying to evaluate a definite integral by this method, you could choose $C_1(t)\equiv 0$.

Answer 2

Que $f(t)=\int e^{tx}\,dx=\frac{e^{tx}}{t}+C$. Tomando el derivado, $f'(t)$, $f(t)$ con respecto a los $t$ revela

$$f'(t)=\int xe^{tx}\,dx=x\frac{e^{tx}}{t}-\frac{e^{tx}}{t^2}+C \tag 1$$

Tenga en cuenta que $t=1$ $(1)$ se convierte en $f'(1)=\int xe^x\,dx=(x-1)e^x+C$.

Diferenciar %#% da #% con respecto a los $(1)$

$t$$

Evaluación $$f''(t)=\int x^2e^{tx}\,dx=x^2\frac{e^{tx}}{t}-2x\frac{e^{tx}}{t^2}+2\frac{e^{tx}}{t^3}+C\tag 2$ $(2)$, obtenemos

$t=1$$

¡como era de mostrarse!