¿Espacio de Eilenberg-Maclane, cuando puede $K(\pi, 1)$ se construyó como un múltiple compacto?

Question

Ver aquí.

Que $\pi$ ser cualquier grupo. Construir un conectado % complejo de CW $K(\pi, 1)$tal que $\pi_1(K(\pi, 1)) = \pi$ y $\pi_q(K(\pi, 1)) = 0$ $q \neq 1$.

Raramente es el caso que $K(\pi, 1)$ puede ser construido como un múltiple compacto. ¿Qué es una condición necesaria en $\pi$ para que eso suceda?

Answer 1

$\pi$ tiene que ser libre de torsiones:

Que $M$ ser un compacto colector asférico y $C$ un subgrupo cíclico finito de su grupo fundamental. $M$ Es asférica, su universal cubriendo $\tilde{M}$ es contractible, por lo que el cociente $\tilde{M}/C$ ofrece un modelo dimensional finito para clasificar espacio $BC$ $C$. En particular, $C$ tiene grupos de homología distinto de cero sólo en finito muchos grados. Esto implica que el $C$ es trivial.

Answer 2

Hay un grupo de estrechamente relacionadas con las condiciones necesarias en la homología y la cohomology de $\pi$, con el fin de que exista un pacto orientado a $n$-dimensiones del colector $K(\pi,1)$. Generalmente uno corrige la elección del coeficiente de anillo de $R$, conmutativo y con unidad de elemento $1$. Estas condiciones para la elección de la $R$. (Uno puede caer en la "orientación" de la propiedad, pero las cosas se ponen más complicadas para el estado).

La más simple es que para cualquier anillo de $R$ grupos $H^i(\pi;R)$ igual a cero en las dimensiones de $i>n$ $R$ en la dimensión $i=n$.

Otro es que el trenzado cohomology grupos $H^i(\pi ; R \pi)$ (con la acción natural de la $\pi$$R\pi$) son cero en las dimensiones de $i \ne n$ $R$ en la dimensión $i=n$ (este no necesita de la orientada a la enfermedad).

El más sutil e importante condición necesaria es que la $H_*(\pi;R)$$H^*(\pi;R)$, con la taza y la tapa de estructuras de producto, satisfacer la dualidad de Poincaré, lo que significa que $H^n(\pi;R)=R$ y es generado por un elemento $\xi$ tiene la propiedad de que la tapa del producto con $\xi$ define un isomorfismo $H_i(\pi;R) \leftrightarrow H^{n-i}(\pi;R)$ todos los $0 \le i \le n$. Se dice en este caso que $\pi$ es una "dualidad de Poincaré grupo". En la dimensión 2 esta condición también es conocida por ser suficiente; en la dimensión 3 autosuficiencia es una gran pregunta abierta; en las dimensiones superiores no soy un experto, pero creo que hay contraejemplos a la autosuficiencia.

Answer 3

Si $\pi$ actúa libremente y correctamente en $R^n$ y el cociente es compacto. Ejemplo $\pi=Z^n$ $K(Z^n,1)$ es el n-Toro dimensional.