Demostrar que .

Question

En clase, nos tratan brevemente lo que el "suelo" y "techo" significa. Conceptos muy simples. Estaban en una diapositiva y, a continuación, nunca hemos escuchado acerca de ellos de nuevo. Pero ahora las siguientes tareas problema ha aparecido:

$$\lfloor\lfloor x/2 \rfloor / 2 \rfloor = \lfloor x/4 \rfloor$$

Normalmente cuando voy a cargar un problema (especialmente a partir de la tarea), me gusta demostrar que no sólo estoy pidiendo la respuesta mostrando lo que he hecho, lo que sabemos hasta el momento, y todo eso... pero en este caso, tengo absolutamente ninguna idea de por dónde empezar.

Tengo que decir que mi primer acercamiento fue crear un gráfico y probar con varios valores para "x" en el fin de ver si hay un patrón y para asegurarse de que no era fácil contra-ejemplo para demostrar que es falso. Que estaba todo bien y bueno, pero en última instancia no podía averiguar qué hacer con los resultados.

Buscando en google, para esto es muy difícil, como todo el mundo utiliza un poco notación diferente y, por tanto, una búsqueda no abarca todos los resultados reales. La única pista que he visto hasta ahora ese tipo de algo de sentido, fue cuando un chico dijo que "x" debe ser reemplazado con "4n + k", ya que el lado derecho de la ecuación se divide por 4, por lo que k es cualquier resto de 0 a 3.

¿Cómo se debe abordar este problema? ¿Qué tipo de manipulaciones que usted puede hacer para pisos? ¿Qué se puede asumir? etc. etc. ...

Answer 1

Esto es sencillo mediante la propiedad universal de la función del piso , es decir $$\rm k\le \lfloor r \rfloor \color{#c00}\iff k\le r,\ \ \ for\ \ \ k\in \mathbb Z,\ r\in \mathbb R$ $ por lo tanto para $\rm\:0

Tu problema es simplemente el % caso especial $\rm\,\ r = x/2,\,\ n = 2.$

Answer 2

Supongamos que $a = \lfloor x/4 \rfloor$. Entonces, #% el %#% o $a \leq x/4

Por el contrario, asumen $\lfloor x/2 \rfloor \in {2a,2a+1}\implies \lfloor x/2 \rfloor/2 \in {a,a+\frac{1}{2}}\implies \lfloor \lfloor x/2 \rfloor/2 \rfloor = a$. Entonces, $\lfloor \lfloor x/2 \rfloor/2 \rfloor = a$. Esto nos da $a \leq \lfloor x/2 \rfloor/2

$\lfloor x/2 \rfloor \in {2a, 2a+1} \implies x/2 \in [2a,2a+2) \implies x/4 \in [a,a+1) \implies \lfloor x/4 \rfloor = a$ OK, he exagerado, y uno de los párrafos será suficiente. Por ejemplo, usando la primera de ellas (para cualquier determinado $\mathbf{Edit:}$),\begin{align} a = \lfloor x/4 \rfloor & \iff a \leq x/4

Answer 3

La sugerencia de que debería escribir $x = 4n + r$ funciona bastante bien, donde $n$ es un número entero y $0 \leq r

Answer 4

Primero observar que $$ \lfloor x/4 \rfloor=k\quad \text{si y sólo si}\quad 4k+4>x\ge 4k. $$ Siguiente $$ \lfloor\lfloor x/2\rfloor/2\rfloor =k \quad \text{si y sólo si}\quad 2k+2>\lfloor x/2\rfloor\ge 2k. $$ Pero $$ 2k+2>\lfloor x/2\rfloor\ge 2k\quad \text{si y sólo si}\quad \lfloor x/2\rfloor=2k\quad\text{o}\quad 2k+1. $$ En el primer caso $$ \lfloor x/2\rfloor=2k\quad \text{si y sólo si}\quad 4k+2>x\ge 4k, $$ mientras que en el segundo caso $$ \lfloor x/2\rfloor=2k+1\quad \text{si y sólo si}\quad 4k+4>x\ge 4k+2. $$ En total $$ 2k+2>\lfloor x/2\rfloor\ge 2k\quad \text{si y sólo si}\quad 4k+4>x\ge 4k. $$

Por lo tanto, $\lfloor x/4 \rfloor=\lfloor\lfloor x/2\rfloor/2\rfloor$.