SOLUCIÓN DEL PROBLEMA.

Question

En mi intento de encontrar la solución paramétrica para la Brachistochrone problema Puedo escribir la ecuación diferencial resultante del cálculo de variaciones tratamiento como $$y(1+y'^2) = k^2 \Rightarrow y' = \sqrt{\frac{k^2 - y}{y}}$$ A continuación, intente una parametrización de la forma $$\tan\phi = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y' = \frac{\sqrt{k^2-y}}{\sqrt{y}}$$ y así $$\cos\phi = \frac{\sqrt{y}}{k} \Rightarrow y = k^2\cos^2\phi \Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\phi} = -2k^2\cos\phi\sin\phi,$$ y $$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\phi} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\phi} = \cot\phi\cdot(-2k^2\cos\phi\sin\phi) = -k^2(\cos 2\phi + 1)$$ que puedo integrar a $$x = -k^2(\frac{1}{2}\pecado 2\phi + \phi) + A.$$ Ahora estoy atascado porque esto no se parece a la ecuación de una cicloides que he de reconocer, y no sé qué rango de valores de $\phi$ debe tomar. La sustitución de $\theta = -2\phi$ casi funciona: $$x = \frac{k^2}{2}(\sin\theta + \theta + A), y = \frac{k^2}{2}(1+\cos\theta),$$ pero, ¿cómo puedo encontrar a $A$ dado los puntos de inicio y final $P_1 = (0,0)$$P_2 = (x_2, y_2)$?

Answer 1

Tenga en cuenta que la sustitución de $t=\theta-\pi$ (u originalmente, $t=-(2\phi+\pi)$) producirá la tradicional forma paramétrica de una cicloides:

$$x=R(t-\sin t), y=R(1-\cos t)$$

donde $R=\frac{k^2}{2}$ es el radio de la asociada seguimiento de círculo.

Actualización: Para encontrar el valor del ángulo "$t_2$" dando algún punto de $(x_2,y_2)$, uno podría reorganizar la y-componente:

$$t_2=\arccos\Big(1-\frac{y_2}{R}\Big)$$

Cuando el parámetro de $t_2$ es determinado, el $x_2$ coordenadas pueden ser evaluados.

Tenga en cuenta que es posible eliminar la $t$ parámetro totalmente y escribir x en términos de y. Curiosamente, no es posible en forma cerrada para escribir $y$ en términos de $x$.

Actualización 2: Una manera de encontrar la $t$ que es especialmente eficaz para la física de los escenarios está relacionado con el enfoque original:

$$\frac{y}{x} = \frac{1-\cos t}{t-\sin t}$$

donde $\frac{y}{x}=\frac{y-0}{x-0}$ se puede interpretar como la pendiente entre los puntos de $(0,0)$$(x,y)$. En una situación física, uno puede medir fácilmente la pendiente desde el origen a cualquier punto arbitrario $(x_i,y_i)$ y, a continuación, determinar el valor del parámetro $t_i$ en ese punto, a través de la por encima de la igualdad. Una vez que usted tiene las dimensiones físicas y el valor del parámetro de punto de $i$, se puede determinar $R$ (a partir de las cicloides ecuaciones). Un experimentales pueden medir varios puntos de $\{(x_i,y_i)\}$ y determinar un valor experimental de la radio de cada uno, $R_i$, entonces el promedio de ellos para encontrar un valor más exacto para $R$ (otras estadísticas se pueden realizar así, para cuantificar cómo de cerca el modelo físico coincide con el modelo matemático de la cicloides).

Como para encontrar el menor tiempo de viaje, a pocos pasos clave que pueden ser de su interés se presentan en este video. Tenga en cuenta que para este propósito es probablemente más sentido que una variable de un punto inicial (en lugar de la original) y un extremo fijo (en la parte inferior de la invertida cicloides). Vea si puede determinar el valor del parámetro en el extremo de la cicloides.