Fórmula de comparación de fracciones de comprensión

Question

Tengo una serie de tiempo de $y_t$ y me gustaría modelo como una ARFIMA (un.k.una. FARIMA) proceso. Si $y_t$ está integrado de (fraccional) orden de $d$, me gustaría una fracción de diferencia para hacerla estacionaria.

Pregunta: es la fórmula siguiente definición de fracciones de diferenciación correcta?

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

(Aquí se $\Delta^d$ denota fracciones de diferenciación de orden $d$.)

Me la base de la fórmula en este artículo de la Wikipedia en ARFIMA, Capítulo ARFIMA($0,d,0$), pero no estoy seguro de si lo tengo correctamente.

Esta pregunta fue publicado en Matemáticas de Intercambio de la Pila aquí hace dos semanas, pero no recibe la suficiente atención (algunos puntos de vista, no hay comentarios, no hay respuestas).

Answer 1

Sí parece ser la correcta. Las fracciones de filtro se define por el binomio de expansión:

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

Tenga en cuenta que $L$ es el lag del operador y que este filtro no se puede simplificar al $0<d<1$. Ahora considere el proceso:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

La expansión obtenemos:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!L^{2}X_{t}}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!L^{3}X_{t}}+\cdots=\varepsilon_{t}$

Que puede ser escrito como:

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

Consulte los Precios de los Activos de la Dinámica, la Volatilidad y la Predicción por Stephen J. Taylor (p. 243 en el 2007 ed.) o de Series de Tiempo: Teoría y Métodos por Brockwell y Davis para más referencias.