$\pi$ desde el círculo unidad, $\sqrt 2$ de la unidad cuadrada, pero ¿qué acerca de la $e$?

Question

Si uno quiere introducir $\pi$ a un no matemáticamente conocedores de la persona, el círculo unitario sería una buena opción. La unidad de la plaza sería el camino a seguir para $\sqrt 2$. Pero, ¿qué acerca de la $e$? He revisado la alternativa caracterizaciones en la wikipedia y todos ellos implican la limitación de los procesos de una forma u otra. Así que me preguntaba: ¿hay una, visual y fácil de comprender la manera de presentar los $e$? (Incluso si la presentación no estaría matemáticamente equivalentes a los de siempre.)

Answer 1

Una toma diferente en el 'clásico' limit que creo que es mi favorito de la manera de pensar acerca de la $e$ recreativa (y una muy útil aproximación para muchos de los juegos): "me tomo una figura de seis lados morir y rodar seis veces. ¿Cuáles son las probabilidades de que yo nunca rollo '1' en los seis rollos? Bueno, ahora me tomo un veinte caras morir y rollo de veinte veces. ¿Cuáles son las probabilidades de que yo nunca rollo '1' en esos 20 rollos?" El último valor, por supuesto, es $\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20} = \left(1-\dfrac{1}{20}\right)^{20}\approx e^{-1}\approx .37$; de hecho, dentro de un 3% en relación aproximación.

Esta es una buena forma de mostrar la limitación de proceso en acción "en la realidad", especialmente para los jugadores, y la manera en que el resultado (ley de potencia) de las escalas con el número de rollos es un excelente regreso-de-la-envoltura estimación para calcular las probabilidades sobre la marcha, yo sé que si yo roll que d20 diez veces, tengo aproximadamente un $\sqrt{.36}\approx 60\%$ de probabilidad de no golpear a un 20, o lo que es equivalente a un $40\%$ oportunidad de conseguir uno. (O, para tomar un ejemplo diferente, puedo saber que con 3 de las Llanuras de la izquierda en mi la Magia de sellado de la cubierta del 30-tarjeta de la biblioteca, mis probabilidades de dibujo de uno en los próximos diez vueltas a solo 2/3rds.)

Answer 2

Es el único número en el que esto sucede:

Answer 3

La noción de período, que es introducido por Kontsevich y Zagier, parcialmente a dar una respuesta negativa a su pregunta. De acuerdo a este artículo, es que ahora se sabe si $e$ es un período o no, aunque es conjecturedly no peroid. En particular, $e$ no parece surgir como un área o longitud de una figura geométrica definida por una ecuación algebraica.

Esto puede implicar que cualquier descripción que implican $e$ eventualmente requieren de cierto grado de cálculo avanzado.

Podemos evitar este problema, argumentando que el concepto de $e$ surge naturalmente examinando algunos de los problemas del mundo real. Por ejemplo, podemos pensar en el interés compuesto:

Dado un tipo de interés anual $100r$% con capitalización período de $1/n$ año, el valor relativo al final de un año es

$$ \left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{n}, $$

que converge a $e^{r}$ $n \to \infty$ (es decir, el período de interés va a cero).

Aquí hay otro, aunque extraño, la caracterización de $e$:

Supongamos que un hombre borracho comienza a $x = 0$ tiempo $t = 0$, y, a continuación, en cada segundo que él camina a la derecha con un tamaño de paso de forma aleatoria y uniformemente entre $0$$1$. Es decir, si $X_i$ son yo.yo.d. variables aleatorias tener una distribución uniforme en $[0, 1]$, entonces la posición del hombre borracho en el momento $t = n$$x = X_1 + \cdots + X_n$. Deje $T$ ser el momento en el que su posición de primer supera el punto de $x = 1$. A continuación, la media de $T$ es exactamente $e$.

Answer 4

$$e\approx 2.71828182846$$

Considere la ecuación:

$$f(n)=(1+\frac{1}{n})^n$$

Como $n$ hace más y más grande, fíjate lo que el resultado de los enfoques.

$$f(1)=2$$ $$f(2)=2.25$$ $$f(3)\approx2.3703703$$ $$...$$ $$f(100)\approx2.7048138$$ $$...$$