Prueba de desigualdad $x^2+3\sin x-3x \geq 0$

Question

Estoy buscando un simple (o cualquiera) manera de probar la desigualdad siguiente: $$x^2+3\sin x-3x \geq 0\quad \text{for all }x\in \mathbb R$ $

Progreso

He mirado en la función correspondiente en el lado izquierdo: tiene una raíz en cero, pero sus derivados no parecen darme información útil.

Answer 1

Si $x\leq 0$, $\sin x-x\geq 0$, por lo que sólo necesita demostrar la desigualdad $x>0$. Puesto que en tal un caso $\sin x>-x$, sólo tenemos que demostrar la desigualdad $x\in(0,6]$. Desde $\sin x\geq-1$, sólo tenemos que demostrar en $(0,4]$. Que $f(x)=x^2+3\sin x-3x$. Desde $f(\pi)>0$ y $f'(x)>0$ $[\pi,4]$, sólo tenemos que demostrar la desigualdad en $I=(0,\pi)$. Durante tal intervalo, podemos utilizar la desigualdad: $$ \sin(x)\geq \frac{1}{\pi}x(\pi-x) \tag{1}$ $ y comprobar que el polinomio de segundo grado por sustitución $\sin x$ con el lado derecho de $(1)$ es no negativo $I$.

Answer 2

Para $x\le 0$ tenemos $\sin x\ge x$ y por lo tanto $$x^2+ 3\sin x-3x\ge x^2\ge 0.$$ If $x\ge 4$ tenemos $$ x^2+ 3\sin x-3x\ge x^2-3x-3=(x-4)(x+1)+1>0.$$ Por lo tanto, sólo necesitamos considerar $0<x<4$.

Taylor dice $$\begin{align}f(x) &=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac12f''(a)(x-a)^2+\frac16f'''(\eta)(x-a)^3\\\end{align}$$ con $\eta$$a$$x$. Aquí, con $f(x)=3\sin x-3x+x^2$ $a=0$ (de modo que $f'(x)=3\cos x-3+2x$, $f''(x)=-3\sin x+2$, $f''(x)=-3\cos x$) $$ \tag1f(x) =x^2\cdot\left(1-\frac x2\cos\eta\right)$$ y con $a=\pi$ $$ \tag2f(x) =\underbrace{(\pi-3)\pi +(2\pi-6)(x-\pi)}_{=:g(x)}+(x-\pi)^2\left(1-\frac{x-\pi}2 \cos\eta\right)$$ El lado derecho en $(1)$ es positivo para $0<x<2$. El último sumando en $(2)$ es no negativa para $\pi-2\le x\le \pi+2$, por lo que especialmente para $2\le x<4$. Por lo tanto para completar la prueba ist es suficiente para mostrar $g(x)>0$$x\ge 2$. Esto se deduce de la $g(\pi/2)=0$ junto con $\frac\pi2<2$$2\pi-6>0$.

Answer 3

Un conjunto de pensamientos: puntos de inflexión son donde $\cos x = 1 - (2/3)x$. Una solución es cuando $x=0$ donde la función tiene un mínimo local de $0$. Todas las soluciones tienen $\sin x = \sqrt (9-(3-2x)^2)/3$ en el que señala que la función tiene valor $2\sqrt (3x-x^2) + (3x-x^2)$ que podemos discutir es no negativo para soluciones reales. Por lo tanto todos los puntos de inflexión están en negativo no función de valores y $x=0$ la función tiene un mínimo local la función es no negativa para todo $x$.

Answer 4

Deje $f(x)=x^2+3\sin x-3x$.

Al $x=0$, la igualdad se mantiene.

Al $x<0$, vamos a $y=-x$. A continuación,$f(x)=y^2+3(y-\sin y)>0$.

Al$x>4$,$x^2+3\sin x-3x> 4x-3-3x=x-3>0$.

Cuando $x\in[\pi,4]$, $f(x)>0$ debido a $f(\pi)=\pi^2-3\pi>0$ y $$f'(x)=2x+3\cos x-3=2(x-3)+3(1+\cos x)>0.$$

Al $x\in I=(0,\frac\pi2)$, la ecuación de $f''(x)=2-3\sin x=0$ tiene sólo una raíz $x_0=\arcsin\frac23$. Desde $$ f'(x_0)=2\arcsin\frac23+\sqrt{5}-3 \ >\ 2\left(\frac23\right)+\sqrt{5}-3 \ >\ 0, $$ y en los extremos del cierre de $I$,$f'(0)=0$$f'(\frac\pi2)=\pi-3>0$, podemos inferir que el $f'$ es positivo en $I$. Sin embargo,$f(0)=0$. Por lo tanto, $f$ también es positiva en $I$.

Al $x\in(\frac\pi2,\pi)$, ya que el $f'(x)$ es positivo en $I$, tenemos $$ f(x)=\int_0^x f'(t)dt>\int_{\pi-x}^x f'(t)dt=\int_{\pi-x}^{\frac\pi2} \left(f'(t)+f'(\pi-t)\right)dt=\int_{\pi-x}^{\frac\pi2} (2\pi-6)dt>0. $$