No se puede hablar directamente desde un navegador web a una base de datos, porque un navegador ejecuta código en la computadora del cliente, y eso no (y no debería) conectarse directamente a tu base de datos.
Lo que necesitas es un middleware que convierta una solicitud desde tu código a una consulta de PostgreSQL, y devuelva datos que Leaflet pueda entender.
Dependiendo de la complejidad de tus datos y de lo que sepas escribir en código, podrías escribir algo básico en un lenguaje de programación de servidor, como Python o JavaScript, y ejecutarlo en un framework ligero, como Flask o Feathers.
O puedes optar por algo más grande, como GeoServer, que ya tiene su API desarrollada (se llama WFS y es un estándar abierto) y sabe cómo hablar con PostGIS, incluyendo la realización de consultas parametrizadas y vistas.
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Por favor especifica qué base de datos. Postgres, Oracle, MS SQL Server, MySQL.....
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