Integral de$\int 1/x dx$

Question

¿Es esto una prueba suficiente para este integral?:

$$\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + \mathcal{C}$$

Que %#% $ #%

$$x = e^{u} : $$

No estoy seguro: S no sé si mi lógica 's un poco débil o / circular con esto: S y cuando he mirado, la mayoría de sitios web parece decir que es una definición en lugar de un resultado, pero... Supongo que sólo quiero una prueba para esto. Alguien tiene alguna idea o puede validar si esto es correcto?

Muchas gracias

Answer 1

Ve bien a mí. Por Teorema de Taylor, también se puede escribir

$$\frac{1}{x} = \sum_k (-1)^k (x-1)^k$$

y se integran en el radio de convergencia término por término, reconociendo el resultado a la derecha. Suponiendo que $x > 0$,

$$\begin{split} \int \frac{dx}{x} &= \int \sum{k=0}^\infty (-1)^k (x-1)^k dx \ &= \sum{k=0}^\infty (-1)^k \int (x-1)^k dx \ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1} (x-1)^{k+1} + C \ &= \ln x +C \end{dividido} $$

Answer 2

Resolver la ecuación correctamente (con la pequeña negligencia para x negativo, que ha sido corregido por Sami).

Si quieren (o pueden) utilizar

$$ \frac{\partial}{\partial x} LN (x) = \frac{1}{x}, $$

entonces usted podría estar interesado en esta prueba.