Demostrar que, para los primos $p$ la suma de productos de números tomados $r<p-1$ a la vez del conjunto $\{1,2,\dots,p-1\}$ es siempre divisible por $p$ .

Question

Demostrar que, para los primos $p$ la suma de productos de números tomados $r<p-1$ a la vez del conjunto $\{1,2,\dots,p-1\}$ es siempre divisible por $p$ .

Una forma de demostrarlo también es considerando los coeficientes del polinomio: $$f(x)=(x-1)(x-2)...(x-p+1)-x^{p-1}+1.$$ Cualquier otra prueba será apreciada. La prueba anterior de esto en Introducción a la teoría analítica de números de Tom M. Apostol (Teorema 5.23).

Answer 1

Pista. Deja que $S_0=n$ y para $1\leq r\leq n$ , $$S_r=\sum_{1\leq i_1<i_2<\dots <i_r\leq n} i_1i_2\cdots i_r$$ entonces (ver Identidades_de_Newton ), $$S_r=\frac{1}{r}\sum_{j=1}^r (-1)^{j-1}S_{r-j}\sum_{k=1}^n k^j.$$ Ahora toma $n=p-1$ y observe que $\sum_{k=1}^{p-1} k^r$ es divisible por $p$ si $1\leq r<p-1$ (ver por ejemplo Divisibilidad de una suma de potencias por un primo ).