He estado tratando de pensar en algún aproximada de la forma de resolver los cuántica problema dispersión de un solo electrón, obedecer a la ecuación de Schrödinger con un local de potencial:
$$\nabla^2 \Psi( \mathbf{r})+(k^2-u( \mathbf{r}))\Psi( \mathbf{r})=0$$
$$k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}, \qquad u( \mathbf{r})=\frac{2mU( \mathbf{r})}{\hbar^2}$$
La costumbre asintótica condiciones se aplican, es decir, podemos representar a $\Psi( \mathbf{r})$ como una suma de entrante de onda plana y una onda dispersada, con la onda dispersada obedecer radiación de Sommerfeld condición. Deje $x$ ser la dirección de la onda entrante:
$$\Psi( \mathbf{r})=e^{i kx}+\psi( \mathbf{r})$$
La sustitución de este, obtenemos la ecuación no homogénea:
$$\nabla^2 \psi( \mathbf{r})+(k^2-u( \mathbf{r}))\psi( \mathbf{r})=u( \mathbf{r}) e^{i kx}$$
Estoy interesado en la forma general de la $u( \mathbf{r})$, no esférica (o axial) simétrica, y no quiero utilizar elementos finitos o de otros métodos de discretización.
Así que he tratado de pensar de algunos de los adecuados métodos de aproximación. Y tuve la siguiente idea:
Vamos a representar a los dispersos función de onda como una infinita suma, que asumimos que converge al menos a grandes distancias de la potencial.
$$\psi=\psi_1+\psi_2+\psi_3+\dots $$
Deje que todos los términos obedecer radiación de Sommerfeld condición.
Ahora obedecer el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\nabla^2 \psi_1+k^2\psi_1=u e^{i kx}$$
$$\nabla^2 \psi_2+k^2\psi_2=u \psi_1$$
$$\nabla^2 \psi_3+k^2\psi_3=u \psi_2$$
$$ \dots $$
A mí me parece que si sumamos todos los de la ecuación anterior de la serie, a continuación, obedecer a la original inhomogenous ecuación de Schrödinger.
Sin embargo, la resolución de cada una de las ecuaciones anteriores es relativamente sencillo, a través de la función de Green, por ejemplo:
$$\psi_1( \mathbf{r})=-\int_{ \mathbb{R} ^3} G( | \mathbf{r}- \mathbf{r'} |) u( \mathbf{r'}) e^{i kx'} dV'$$
Naturalmente, he intentado este método para el más simple problema: 1D finitos rectangulares potencial:
$$u=-u_0 [a \leq x \leq b]$$
La 1D de la función de Green para la Sommerfeld condición es:
$$G(x)=\frac{i}{2k} e^{i k |x|}$$
A continuación, obtenga la siguiente serie de $\psi(x)$$x>b$:
$$\psi(x)=\left( \frac{i u_0}{2k}(b-a)+\frac{i^2 u_0^2}{4k^2}(b-a)^2+\frac{i^3 u_0^3}{8k^3}(b-a)^3+ \dots \right) e^{ikx}$$
O, utilizando series geométricas y sumando también la onda entrante, obtenemos para la transmisión de la onda:
$$\Psi_t (x)=\frac{1}{1-i \frac{u_0(b-a)}{2k}} e^{i kx}$$
Aquí nuestra principal hipótesis es que el $$ \left| \frac{u_0(b-a)}{2k} \right| <1$$
La probabilidad de transmisión es:
$$T(k)=\frac{4k^2}{4k^2+u_0^2 (b-a)^2}$$
Mientras tanto, la solución exacta de la ecuación de Schrödinger para este problema nos da la siguiente fórmula:
$$T(k)=\frac{4k^2}{4k^2+u_0^2 \frac{\sin^2 \left((b-a)\sqrt{k^2+u_0} \right)}{k^2+u_0}}$$
Para obtener nuestra expresión aproximada debemos utilizar el siguiente supuesto: $$|(b-a)\sqrt{k^2+u_0}| << 1$$
Mi pregunta es: ¿por qué el supuesto necesario para obtener esta solución aproximada diferente y más fuerte que la suposición de que he utilizado para la suma de la serie? ¿Cuáles son las suposiciones ocultas me parece que han hecho que influyó en este resultado?
A mí me parece que, dado que en la expresión aproximada para $T(k)$ no recibe ningún tipo de resonanses (es decir, virtual enlazados a los estados) y la segunda condición parece ser que la longitud de onda de la partícula es mucho más grande que el ancho del bien, entonces probablemente no se puede utilizar Sommerfeld condiciones para todas las funciones de $\psi_k$ como lo hice yo. Esto es correcto?
